丹凤千字科普：正方体的表面积公式!（详细资料介绍）

在“长方体、正方体的体积计算公式”的教学中，我们该更偏向于演绎推理，而非归纳推理。这是因为，演绎推理过程本质上是一种“抽象”过程，而数学知识的形成虽然包含了发现的因素，但更多的是抽象的产物。皮亚杰曾提出的“反身抽象”概念，在数学学习中扮演着重要角色。

如果我们主要依赖归纳推理，那么教学过程可能会过于注重“算”的动作，学生在计算过程中发现数字之间的相乘关系，然后得出一般结论，如“长方体的体积=长×宽×高”。这样的学习过程显得过于机械，而且所谓的“发现”也仅仅是浅层次的。实际上，数字之间的相乘关系在二年级时就已经能够被学生所理解，例如“5○4○2=40”。

真正的数学抽象，即皮亚杰所说的反身抽象，是对自己动作的反思及抽象。这种抽象建立在主体两种动作协调之上，在测量长方体体积的过程中，一种动作是“摆”的动作，另一种是“数”的动作。两种动作协调的结果是得出“算”的结论。

为了让学生感受“有温度的数学”思想，我们需要通过“摆”的直观动作和“数”的思维动作的协调，来抽象出长方体、正方体的体积计算公式。在这个过程中，学生需要经历一系列的思维活动，自己构造直观，努力使学生的空间观念得到最大化的发展。此课也有统一“测量”思想与方法的意图，从二年级的一维测量到五年级的三维测量，都是一个由“数”到“算”的过程。

在探索过程中，通过两种动作的协调和两种水平的抽象，学生得出长方体和正方体的体积计算公式。第一次抽象是“客体抽象”，以实际操作为依据，初步抽象出长方体的体积等于体积单位的数量。第二次抽象则是将第一次的“数”的动作内化，进一步抽象出“长方体的体积=长×宽×高”。

我们不能仅仅满足于帮助学生掌握并机械运用体积公式，更应重视帮助学生理解公式背后的意义。要让学生经历公式的产生过程，这个过程就是“数体积单位”。皮亚杰的发生认识论告诉我们，儿童认知的发展是随着知识本身的发展而进行的。在这个不断探索、不断抽象的过程中，我们应该让学生体验数学的乐趣。对于体积公式的理解，我们要让学生知道它不仅仅是一个公式，更是对体积单位数量进行抽象和概括的结果。

课堂学习应该是动态的、充满探究的。比如在这堂课中我们提出的核心问题是“怎样测量体积更快？”核心目标是经历体积公式的形成过程”。学生的思考方式是多样化的：有的横向数体积单位的数量、有的竖向数等。无论采用哪种方式都是边数边算的过程。接着引导学生思考更优化的测量方法，“用公式测量更简单”，这正是数学化或结构化过程的具体体现。学生在实践中经历了从用小正方体摆满测量到只测量长方体的长、宽、高就能知道体积的过程转变。这个过程中学生的数（实际计数）与算（运用公式计算）两种动作得到了良好的协调，从而完成了公式化的重要转变。这是学生在结构化的学习背景下能够利用自己已有的技能和方法进行整合并运用到更高层次问题的有力证明。这样的学习过程才是有温度的、有深度的数学学习过程。