平方根的两个基本公式

作者：逆蝶，哆嗒数学网群友，就读于科学技术大学

虚数是数系中最伟大的发现之一，但其发展历程却充满坎坷。虚数的引入，曾让众多大数学家困惑，他们曾认为虚数是虚无缥缈、没有意义的。

莱布尼茨曾形容虚数是“神灵遁迹的精微而奇异的隐蔽所，它大概是存在于现实与虚幻之间的两栖物。”虚数的引入并非偶然，而是基于实际数学问题——三次方程的求解。在十六世纪，意大利数学家塔塔里亚发现了三次方程的求根公式，这之后，虚数不再仅仅是一个符号演算，而是成为了解决真实问题的关键。不承认虚数的存在，就无法完整地解决三次方程的求解问题。

随着虚数的出现，许多数学家开始对其进行深入研究。法国数学家棣莫佛发现了著名的棣莫佛公式，欧拉用i表示-1的平方根，将i作为虚数的单位。测量学家韦塞尔试图给虚数以直观的几何解释，高斯则对复素数进行了一系列研究。在此基础上，复数理论逐渐建立起来，并被广大数学家所接受。

复数z被定义为二元有序实数对(x,y)，记为z=x+yi，其中i是虚根单位。在复数z=x+yi中，x被称为实部，y被称为虚部。当虚部b=0时，z可视为实数；当虚部b≠0而实部a=0时，z被称为虚数或纯虚数。

复数的加法定义为：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。复数的乘法定义为：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。根据乘法的定义可得i²=-1。复数运算和实数运算的运算法则基本相同，只是在运算过程中带上符号i而已。

将复数z=x+yi等同于平面上的点或向量(x,y)，则z有长度sqrt{x²+y²}，称为复数z的模长，记为|z|。复数z'=x-yi，即z关于x轴的对称点，称为z的共轭复数。容易验证zz'=|z|²。复数的加法等同于向量之间的加法。

记r=|z|，t为z与x轴正方向的夹角，称为z的幅角。则有x=rcost，y=rsint，于是有z=r(cost+isint)。欧拉证明了e^(it)=cost+isint，所以也有z=re^(it)。复数的乘法用三角表示或指数表示非常简单。通过三角函数的运算可以简单证明若z=re^(it)，w=pe^(is)，那么zw=rpe^(i(t+s))。也就是说，两个复数相乘所得到的复数，其模是两个复数模的乘积，其幅角是两个复数幅角的和。因此w乘以z，即为w的长度伸缩为原来的r倍，并将w逆时针旋转角度t。

利用e^(πi/2)=cos(π/2) + i sin(π/2)=i，可以得到一个复数z乘以i所得复数iz可以由复数z逆时针旋转90°得到。这说明复数确实具有几何意义。

除了三角表示和指数表示，复数还有矩阵表示。把复数z=x+yi等同于特定形式的矩阵。容易验证复数的加法与矩阵的加法相容，复数的乘法也与矩阵的乘法相容。复数的模长即为矩阵行列式的平方根，复数的共轭就是矩阵的转置。可以发现一些特定的等式关系。

当r=1，即z=e^(it)时，z乘以一个复数w相当于把w逆时针旋转角度t。根据同样的理由，称z所对应的矩阵为旋转矩阵。

关于复数的减法，自然定义为(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。对于除法，由zz'=|z|²，可以得到1/z=z'/|z|²。这表明可以将复数除法定义为w/z=wz'/|z|²。这样所有的复数形成了一个域，称为复数域。它是实数域的扩充，也是对实数域的代数闭包。也就是说，任意的复系数多项式在复数域中总有根。

接下来简单介绍高斯整数。每个形如m+ni的复数称为高斯整数，其中m、n是整数。如果m+ni=(a+bi)(c+di)可以得到a+bi或c+di等于1、-1、i、-i中的某一个数，那么称m+ni为复素数或高斯素数。显然的关系式5=(1+2i)(1-2i)，说明素数5不是复素数。因此