正方形的体积表面积公式

【题目】

在图1中，点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上，且四边形EFGH也是一个正方形。点N位于GH上，且四边形CMNP同样是正方形。已知AB的长度为12厘米，CM的长度为2厘米，求红色正方形EFGH的面积。

【图1】

【分析与解答】

要求红色正方形EFGH的面积，首先需要找到它的边长。通过观察题目给出的条件，直接求正方形的边长较为困难。我们可以转换思路，先求大正方形ABCD的面积，再减去四个三角形的面积，从而得到红色正方形EFGH的面积。

已知大正方形ABCD的边长为12厘米，因此其面积为：

$S_{ABCD} = 12 × 12 = 144$平方厘米。

接着，由于△AEF、△DHE、△CGH、△BFG是完全相同的四个三角形，我们只需求出一个三角形的面积。这里以△CGH为例。连接线段CN（如图2所示）。

【图2】

根据三角形面积的计算公式，我们有：

$S_{△CGH} = S_{△CGN} + S_{△CHN}$

$= \frac{CG × GN}{2} + \frac{CH × HN}{2}$（其中GN和HN均为线段GH的一半）

$= \frac{(CG + CH) × GH}{2}$（因为CG和CH的长度相等）

$= \frac{12 × 12}{2}$（因为GH等于大正方形的边长）

$= 72$平方厘米。

由于有四个这样的三角形，所以四个三角形的总面积为：$4 × S_{△CGH} = 4 × 72 = 288$平方厘米。红色正方形的面积等于大正方形的面积减去四个三角形的面积：$S_{红色} = S_{ABCD} - 4 × S_{△CGH}$ $= 144 - 288 = -144$平方厘米。但由于面积不能为负数，说明我们的计算过程现了错误。重新检查计算过程后我们发现之前的计算是错误的，修正后的计算过程应为：每个三角形的面积是 $S_{△CGH}= \frac{1}{2} × GH × 2 = 12$平方厘米。因此四个三角形的总面积为 $4 × 12 = 48$平方厘米。所以红色正方形的面积为：$S_{红色} = S_{ABCD} - 4 × S_{△CGH}= 144 - 48 = 96$平方厘米。