向量的乘法的所有公式

接下来我们继续深入探讨线性代数中的矩阵乘法，包括矩阵与矩阵、矩阵与向量之间的乘法，以及其背后的数学实质和意义。

我们通过一个具体的矩阵相乘例子来引入话题。为什么要进行矩阵乘法？这种乘法的结果代表着什么？

线性代数的专家吉尔伯特斯特朗曾这样解释过，这背后的原因要追溯于线性代数的一项重要任务——线性变换。线性变换是指改变坐标系，例如拉伸或旋转坐标系，但不包括扭曲，因为扭曲会导致非线性变换。

让我们以一个二维坐标系为例。在这个坐标系中，向量i和j是基底向量，表示该坐标系的所有向量都可以由这两个基底线性组合而成。当我们谈论线性变换时，我们实际上是在讨论改变这个直角坐标系的基底，将其变成一个斜坐标系。这种变换用新的基底i’和j’来描述二维斜坐标系。这时原来的直角坐标系中的向量在经过这种线性变换后，大小和方向都可能发生改变。这种改变是通过矩阵乘法来描述的。具体来说，矩阵与矩阵相乘的本质是描述坐标系的线性变换，而矩阵与向量相乘的本质则是描述向量的线性变换。这种变换可能包括大小的变化和方向的变化。举例来说，一个直角坐标系中的向量（2，3）在经过某种线性变换后，可能在新的斜坐标系中变成（8，18）。这个过程可以看作是通过一系列线性变换的叠加实现的。同样的道理，在三阶空间中，某个向量在经过某种三维线性变换后，其坐标值也会发生相应的变化。因此从本质上讲，矩阵乘法是描述这种线性变换的工具。通过矩阵乘法，我们可以将一种复杂的线性变换过程转化为简单的矩阵运算，从而更加便捷地处理各种线性代数问题。