教你所有向量乘法公式，轻松掌握线性代数核心！

线性代数是现代数学和计算机科学的重要基础，而向量乘法是其核心内容之一。掌握各种向量乘法公式，不仅能够帮助我们更好地理解线性代数的概念，还能在解决实际问题中发挥巨大作用。本文将系统介绍线性代数中常见的向量乘法公式，助你轻松掌握这一核心知识。

首先，我们来看向量的点积（内积）。对于两个n维向量 \( \mathbf{a} = (a_1, a_2, \ldots, a_n) \) 和 \( \mathbf{b} = (b_1, b_2, \ldots, b_n) \)，它们的点积定义为：

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n \]

点积的结果是一个标量，它反映了两个向量的方向相似程度。

接下来是向量叉积（外积），这仅在三维空间中有定义。对于两个三维向量 \( \mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3) \) 和 \( \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3) \)，它们的叉积定义为：

\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1) \]

叉积的结果是一个向量，它的方向垂直于原两个向量构成的平面，大小等于两个向量构成的平行四边形的面积。

最后是向量与矩阵的乘法。对于一个m×n矩阵 \( \mathbf{A} \) 和一个n维向量 \( \mathbf{b} \)，它们的乘积 \( \mathbf{A}\mathbf{b} \) 是一个m维向量，计算公式为：

\[ (\mathbf{A}\mathbf{b})_i = \sum_{j=1}^{n} A_{ij}b_j \]

这个操作在解决线性方程组、数据变换等问题中非常有用。

通过掌握这些向量乘法公式，我们不仅能够深入理解线性代数的本质，还能在实际应用中更加得心应手。希望本文能助你在学习线性代数的过程中取得更好的成绩！