收敛数列肯定是有界的，这可是数学中的基本定理呢！

在数学中，收敛数列的有界性确实是一个基本且重要的定理。根据定义，一个数列如果收敛，即存在一个实数L，使得对于任意给定的正数ε，都存在一个正整数N，当n > N时，数列中的每一项an与L的差的绝对值都小于ε，即|an - L| < ε。这个性质直接暗示了数列的项在足够大的n值时，会紧密地聚集在L附近。

然而，仅仅知道数列在某个n值之后的行为是不够的，我们还需要考虑数列在n较小的情况下的行为。由于数列是按顺序排列的，它的任何有限子集都有界。具体来说，对于收敛数列{an}，我们可以找到一个正整数M，使得对于所有的n，|an| ≤ M。这是因为，当n足够大时，所有an都落在L的ε邻域内，而当n较小，我们可以考虑数列的前N项，它们构成了一个有限集，因此有界。综合这两部分，我们可以得出结论：整个数列{an}是有界的。

因此，收敛数列的有界性定理是成立的，它不仅依赖于数列在极限点附近的行为，也依赖于数列的整体结构。这个定理在数学分析中有着广泛的应用，是理解和研究数列极限性质的基础。