区间可导的话，导数肯定连续，这事儿太基本了！

确实，区间可导和导数连续之间的关系是一个非常基础且重要的概念。当我们说一个函数在某区间内可导时，意味着在这个区间内的每一点，函数都有一个确定的导数。这导数可以看作是函数变化率的描述。然而，仅仅知道函数在某区间内可导，并不能保证其导数也是连续的。

一个典型的反例是函数 \( f(x) = x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \) 在 \( x \neq 0 \) 时定义，且 \( f(0) = 0 \)。这个函数在整个实数域上都是可导的，但在 \( x = 0 \) 处的导数并不连续。具体来说，\( f'(x) \) 在 \( x = 0 \) 处的极限不存在，尽管 \( f'(x) \) 在其他地方是存在的。

因此，区间可导并不必然意味着导数在该区间内连续。导数的连续性是一个更强的条件，需要额外的信息来保证。通常，如果函数不仅区间可导，而且其导数在区间内还满足一定的光滑性条件（如Lipschitz连续性），那么导数才可能是连续的。这个例子也提醒我们，在处理函数的可导性和连续性问题时，要谨慎对待，不能简单地认为两者总是等价的。