圆内接四边形的性质例题

夏夏辅导一个初中的孩子时注意到，代数题对她来说还算轻松，例如解一元二次方程或求二次函数的解析式。但一遇到几何图形题，比如解决平行四边形的问题时，她就有些困难。虽然她能说出平行四边形的性质和判定方法，但难以将其应用到解题中。后来我发现，这是因为她无法将问题和条件之间建立起联系。那么，这个联系在哪里呢？对于很多图形题来说，添加辅助线就是解决问题的关键。

今天，我为大家整理总结了关于三角形、四边形以及圆中常见辅助线的添加方法，希望能帮到大家。

三角形的常见辅助线添加：

1. 与角平分线有关的：

（1）可向两边作垂线。

（2）可作平行线，构造等腰三角形。

（3）在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。

与线段长度相关的：

（1） 截长：证明某两条线段的和或差等于第线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它与其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的部分等于另一条线段。

（2） 补短：同样是为了证明两条线段的和或差，但在较短的线段上延长一段，使其等于另一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段。

（3）倍长中线：若题目现三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再连接端点。

（4）遇到中点，考虑中位线或等腰、等边三角形的三线合一性质。

与等腰、等边三角形有关的：

主要考虑三线合一的性质，即等腰三角形的底边两端点到顶点的线段长度相等，且都垂直于底边。等边三角形则边都相等。旋转一定的度数来构造全等三角形，等腰三角形一般旋转顶角的度数，等边三角形则旋转60。

四边形的常见辅助线添加：

特殊四边形包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形。解决与四边形有关的问题时往往需要添加辅助线来构造四边形。下面介绍一些常见的添加方法。

与平行四边形有关的：

（1）利用一组对边平行且相等来构造平行四边形。

（2）利用两组对边平行来构造平行四边形。

（3）利用对角线互相平分来构造平行四边形。

与矩形有关的：

（1）计算型题一般通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求解。

（2）证明或探索题一般连结矩形的对角线，利用对角线相等的性质来解决问题。

与菱形有关的：

主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定理来解决问题。

与正方形有关的：

正方形是一种特殊的四边形，既是轴对称图形也是中心对称图形。解决正方形的问题有时需要作辅助线，常用的是作正方形对角线。

与梯形有关的：

梯形的辅助线添加方式较多，主要包括作腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形、作梯形的高构造矩形和直角三角形、作一对角线的平行线构造直角三角形和平行四边形等。

圆的常见辅助线添加：

在解决与圆有关的问题时，常常需要添加辅助线。下面介绍一些常见的添加方式及其作用。

1. 遇到弦时：常常添加弦心距或者作垂直于弦的半径（或直径），或者连结过弦的端点的半径。作用包括利用垂径定理、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系，以及利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。

2. 遇到有直径时：常常添加（画）直径所对的圆周角。作用是利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。圆的其他部分如切线、两相交切线、三角形的内切圆、三角形的外接圆等的辅助线添加也有各自的规律和作用。

为了帮助记忆，还有辅助线添加的歌诀：“人说几何很困难，难点就在辅助线。把握定理和概念，还要刻苦加钻研……”等等。通过记忆这些歌诀和不断练习，可以更加熟练地掌握几何的辅助线添加方法，从而更轻松地解决几何问题。