丹凤千字科普：ln函数定义域要求（详细资料介绍）

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说明：

1.文档内容为新高考数学分专题复习资料。

2.共计55讲。

3.每题均有详细解析。

第1讲　函数的图象与性质

[考情分析]

高考对于函数图象与性质的考查，主要围绕函数的概念、函数的性质及分段函数进行，考察难度属中等及以上。通常以选择题、填空题的形式出现，有时也在压轴题现，并常与导数、不等式、创新性问题相结合。

考点一　函数的概念与表示

核心提炼

1. 复合函数的定义域

- 若f(x)的定义域为[m, n]，则在f(g(x))中，m ≤ g(x) ≤ n，解得x的范围即为f(g(x))的定义域。

- 若f(g(x))的定义域为[m, n]，则m ≤ x ≤ n确定的g(x)范围即为f(x)的定义域。

2. 分段函数

- 分段函数的定义域等于各段函数定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集。

例1

(1) 若函数f(x)＝log2(x－1)＋，则函数f 的定义域为( )

A. (1,2] B. (2,4] C. [1,2) D. [2,4)

答案：B

解析：由得1

(2) 设函数f(x)＝则满足f(x)＋f(x－1)≥2的x的取值范围是________。

答案：

解析：∵函数f(x)＝

∴当x≤0时，x－1≤－1，f(x)＋f(x－1)＝2x＋1＋2(x－1)＋1＝4x≥2，无解；

当即0

f(x)＋f(x－1)＝4x＋2(x－1)＋1＝4x＋2x－1≥2，得≤x≤1；

当x－1>0，即x>1时，f(x)＋f(x－1)＝4x＋4x－1≥2，得x>1.

综上，x的取值范围是.

规律方法

(1) 形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则。

(2) 对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解。

演练1

(1) 已知实数a

A. (－∞，－2] B. [－2，－1]

C. [－1,0) D. (－∞，0)

答案：B

解析：当a1且1＋a

(2) 设函数f(x)的定义域为D，如果对任意的x∈D，存在y∈D，使得f(x)＝－f(y)成立，则称函数f(x)为“H函数”。下列为“H函数”的是( )

A. y＝sin xcos x B. y＝ln x＋ex

C. y＝2x D. y＝x2－2x

答案：AB

解析：由题意，得“H函数”的值域关于原点对称。A中，y＝sin xcos x＝sin 2x∈，其值域关于原点对称，故A是“H函数”；B中，函数y＝ln x＋ex的值域为R，故B是“H函数”；C中，因为y＝2x>0，故C不是“H函数”；D中，y＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，其值域不关于原点对称，故D不是“H函数”。A，B是“H函数”。

考点二　函数的性质

核心提炼

1. 函数的奇偶性

- 定义：若函数的定义域关于原点对称，则有：f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)。

- 判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数奇函数是偶函数)。

2. 函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法。

3. 函数图象的对称中心或对称轴

- 若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝2b－f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a, b)对称。

- 若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称。

考向1　单调性与奇偶性

例2

(1) (2020新高考全国Ⅰ) 若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是( )

A. [－1,1]∪[3，＋∞) B. [－3，－1]∪[0,1]

C. [－1,0]∪[1，＋∞) D. [－1,0]∪[1,3]

答案：D

解析：因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，

则f(0)＝0.

又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，

画出函数f(x)的大致图象，则函数f(x－1)的大致图象。

当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，

得－1≤x≤0.

当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，

得1≤x≤3.

故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]。

(2) 设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为N，则(M＋N－1)2 021的值为________。

答案：1

解析：由已知x∈R，f(x)＝

＝＝＋1，

令g(x)＝，易知g(x)为奇函数，

由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值的和为0，

M＋N＝f(x)max＋f(x)min＝g(x)max＋1＋g(x)min＋1＝2，(M＋N－1)2 021＝1.

考向2　奇偶性与周期性

例3

(1) 定义在R上的奇函数f(x)满足f ＝f(x)，当x∈时，f(x)＝

，则f(x)在区间内是( )

A. 减函数且f(x)>0 B. 减函数且f(x)

C. 增函数且f(x)>0 D. 增函数且f(x)

答案：D

解析：当x∈时，由f(x)＝

可知，f(x)单调递增且f(x)>0，又函数f(x)为奇函数，所以在区间上函数也单调递增，且f(x)

(2) 已知定义在R上的函数f(x)满足：函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，且x≥0时恒有f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝ex－1，则f(2 020)＋f(－2 021)＝________。

答案：1－e

解析：因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，所以y＝f(x)的图象关于原点对称，

又定义域为R，所以函数y＝f(x)是奇函数，

因为x≥0时恒有f(x＋2)＝f(x)，

所以x≥0时，f(x)是周期为2的周期函数．

所以f(2 020)＋f(－2 021)＝f(0)－f(2 021)

＝f(0)－f(1)＝(e0－1)－(e1－1)＝1－e.

二级结论

(1) 若函数f(x)为偶函数，且f(a＋x)＝f(a－x)，则2a是函数f(x)的一个周期．

(2) 若函数f(x)为奇函数，且f(a＋x)＝f(a－x)，则4a是函数f(x)的一个周期．

(3) 若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，且f(b＋x)＝f(b－x)，则2(b－a)是函数f(x)的一个周期．

演练2

(1) (2018全国Ⅱ) 已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝

f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于( )

A. －50 B. 0 C. 2 D. 50

答案：C

解析：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

∴f(1－x)＝－f(x－1)．∵f(1－x)＝f(1＋x)，

∴－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，

∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，

∴函数f(x)是周期为4的周期函数．

由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)＝0，

又∵f(1－x)＝f(1＋x)，

∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，

∴f(2)＝f(0)＝0，

又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，

∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，

∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)

＝012＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.

(2) (多选) 关于函数f(x)＝x＋sin x，下列说法正确的是( )

A. f(x)是奇函数

B. f(x)是周期函数

C. f(x)有零点

D. f(x)在上单调递增

答案：ACD

解析：由题可知函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝－x－sin x＝－f(x)，则f(x)为奇函数，故A正确；根据周期函数的定义，可知f(x)一定不是周期函数，故B错误；因为f(0)＝0＋sin 0＝0，所以f(x)有零点，故C正确；对f(x)求导得f′(x)＝1＋cos x≥0在R上恒成立，故f(x)在

(－∞，＋∞)上单调递增，故D正确．

考点三　函数的图象

核心提炼

1. 作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换。

2. 利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点。

考向1　函数图象的识别

例4

(1) (2020衡水模拟) 函数f(x)＝xln |x|的图象可能是( )

答案：D

解析：函数f(x)＝xln |x|是奇函数，排除选项A，C；当x＝时，y＝－，对应点在x轴下方，排除B.

(2) 已知某函数图象如图所示，则此函数的解析式可能是( )

A. f(x)＝sin x B. f(x)＝sin x

C. f(x)＝cos x D. f(x)＝cos x

答案：B

解析：根据题意，由图象可得，该函数为偶函数，且在y轴右侧，先为正值，然后为负值．C，D选项中的函数均为奇函数，不符合题意；对于A选项，f(x)为偶函数，当x∈(0，)时，

sin x>0，

sin x>0，>0，则f(x)>0，符合题意．

考向2　函数图象的变换及应用

例5

(1) 若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为( )

答案：C

解析：要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后再向左平移一个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．

(2) 已知函数f(x)＝若不等式|f(x)|≥mx－2恒成立，则实数m的取值范围为( )

A. [3－2，3＋2] B. [0,3－2]

C. (3－2，3＋2) D. [0,3＋2]

答案：D

解析：由函数的解析式易知f(x)≤0恒成立，则|f(x)|＝不等式|f(x)|≥mx－2恒成立，等价于函数y＝|f(x)|的图象在函数y＝mx－2图象的上方恒成立．

作出函数y＝|f(x)|的图象，如图所示，函数y＝mx－2的图象是过定点(0，－2)的直线，由图可知，当m0时，考虑直线y＝mx－2与曲线y＝x2＋3x(x>0)相切的情况．

由得x2＋(3－m)x＋2＝0，

令＝(3－m)2－8＝m2－6m＋1＝0，

解得m＝3＋2或m＝3－2，

结合图形可知0

综上，m的取值范围是[0,3＋2]．

规律方法

(1) 确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特征点排除不符合要求的图象。

(2) 函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题。求解两个函数图象在给定区间上的交点个数问题时，可以先画出已知函数完整的图象，再观察。

演练3

(1) (2020天津市大港第一中学模拟) 函数y＝2|x|sin 2x的图象可能是( )

答案：D

解析：令f(x)＝2|x|sin 2x，

因为x∈R，f(－x)＝2|－x|sin 2(－x)＝－2|x|sin 2x＝－f(x)，

所以f(x)＝2|x|sin 2x为奇函数，排除选项A，B；

因为当x∈时，f(x)

(2) 已知函数f(x)＝若存在x0∈R使得f(x0)≤ax0－1，则实数a的取值范围是( )

A. (0，＋∞) B. [－3,