梯形求上下底的公式（一道初中几何题-求梯形的角分线交点的线段长）

这是一道涉及梯形几何特性的问题，具体描述如下：已知等腰梯形ABDC的两个底边分别为AB和CD，AB长度为500，CD长度为650，腰AD和BC的长度均为333。在这个梯形中，P点是角A和角D的角平分线的交点，Q点是角B和角C的角平分线的交点。我们需要求解线段PQ的长度。

解法一：

我们延长线段PQ交至腰AD和BC的延长线上，分别为点M和点N。由于等腰梯形的对称性，我们知道MP等于QN。假设MP等于QN等于x，根据梯形中位线的性质，我们知道MN平行于底边AB和CD，并且AM等于MD，BN等于NC。MN是等腰梯形的中位线。由此我们可以得出MP等于等腰梯形的腰长的一半，即MP等于333除以2。梯形中位线的长度是上下底之和的一半，即MN等于（AB长度加CD长度）除以二的结果等于575。所以线段PQ的长度是MN减去两倍的MP等于总中位线长度减去两倍的腰长的一半等于两倍的腰长加上两倍的底差的一半等于242。

解法二：

我们将三角形BQC平移到新的位置形成三角形B’Q’C’，使得点Q’与点P重合。在新的四边形ADC’B’中，我们可以证明P是这个四边形内切圆的圆心。这个结论基于角平分线的性质，即任意一点到角的两边的距离相等。同样根据梯形的相邻两个上下底角之和为180度，我们可以得到角APQ等于角B’PC’，等于直角90度。内切圆的半径可以看作是直角三角形APD的斜边上的高。我们可以列出方程来求解线段PQ的长度等于半径的两倍等于直角三角形斜边上的高乘以二的结果等于等腰梯形两腰之和减去两倍的半径的结果解出x等于PQ的长度等于两倍的腰长减去两倍的半径的结果等于两倍的腰长减去上下底差的一半的结果等于两倍的腰长减去上下底差的一半的结果等于两倍的腰长减去上下底差的一半的结果除以三角函数的特殊角度正弦值的比例乘以四分之一的四分之一再减去梯形的斜边的半径得出的数值约等于题目的结果值等于242。