丹凤千字科普：等腰三角形垂心的性质2比1（详细资料介绍）

题目1：在平行四边形ABCD中，E、G、F、H分别是各边上的点，且AE=CF，BG=DH。求证EF和GH互相平分。

解题思路：连接HE、EG、GF、HF（图2）。由于平行四边形对角线相等，我们可以证明△FCG与△EAH是全等的，从而得出HE=FG。同理，我们也可以证明△HDF与△GBE是全等的，从而得出HF=EG。我们可以得出结论，四边形FHEG是一个平行四边形，所以EF和GH互相平分。

题目2：在△ABC中，从AB和AC为边向外作正方形ABEF和ACGH，连接FH，并过点A作AD⊥BC于D，延长DA交FH于M。求证FM=HM。

解题思路：过点F作FN∥AH交DM延长线于N，然后连接NH（图2）。由于ABEF和ACGH是正方形，我们知道AB=AF和AC=AH。由于FN∥AH，我们可以证明△NFA与△CAB是全等的，从而得出FN=AC=AH。四边形FAHN是平行四边形，所以M是FH的中点，从而证明FM=HM。

题目3：点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD。求证AD与BE互相平分。

解题思路：延长DF交AB于G，延长AC交DE于H（图2）。已知AB∥ED和AC∥FD，我们可以证明四边形AGDH是平行四边形，从而得出AG=DH。由于FB=CE和角度相等，我们可以证明△BGF与△EHC是全等的，从而得出BG=HE。AB=BG+AG=HE+DH=ED。所以AB平行且等于ED，四边形ABDE是平行四边形，从而证明AD与BE互相平分。

题目4：在圆O内接三角形ABC中，H是垂心，M为BC的中点，延长HM交圆于N。求证HM=MN。

解题思路：连接CH和BH（图2），我们可以证明四边形BNCH为平行四边形。由于M是BC的中点，对角线HN必然经过点M。点N和N重叠在同一位置。这说明四边形BNCH是平行四边形，因此点M是HN的中点，从而证明HM等于MN。本题的关键在于理解含有三角形外心、垂心、底边中点等基本结构的几何性质并利用它们进行证明。另外需要注意到AN是圆的直径这一点对于题目的解答并无直接帮助。

题目5：在△ABC中，D在AB上且E在AC的延长线上。BD等于CE，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于G且AG平行于DE。求证BF等于CF。

解题思路：假设AG平分∠MAE（图2）。由于AG平行于DE并且∠MAG等于∠MDE等于，∠GAE等于∠DEA等于，我们可以证明△ADE是等腰三角形。过点C作CH平行于AB交DE于H，这样我们可以证明△CHE也是等腰三角形且CH等于CE。由于BD等于CE并且CH平行于AB，我们可以证明四边形DBHC是平行四边形。因此BC和DH互相平分，从而证明BF等于CF。