手把手带你轻松搞定最小二乘法推导全过程！

最小二乘法是一种广泛应用于数据拟合和回归分析中的数学方法，其核心思想是通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳拟合线。下面我将为你详细讲解最小二乘法的推导过程。

假设我们有一组数据点 \((x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)\)，我们希望找到一个线性模型 \(y = mx + b\) 来拟合这些数据点。其中，\(m\) 是斜率，\(b\) 是截距。

首先，我们定义每个数据点的残差（即实际值与模型预测值之差）为：

\[ e_i = y_i - (mx_i + b) \]

我们的目标是最小化所有残差的平方和，即最小化：

\[ S = \sum_{i=1}^{n} e_i^2 = \sum_{i=1}^{n} (y_i - mx_i - b)^2 \]

为了找到使 \(S\) 最小的 \(m\) 和 \(b\)，我们需要对 \(S\) 分别对 \(m\) 和 \(b\) 求偏导数，并令其等于零。

首先对 \(m\) 求偏导数：

\[ \frac{\partial S}{\partial m} = -2 \sum_{i=1}^{n} x_i (y_i - mx_i - b) \]

然后对 \(b\) 求偏导数：

\[ \frac{\partial S}{\partial b} = -2 \sum_{i=1}^{n} (y_i - mx_i - b) \]

将这两个偏导数分别设为零，我们得到以下方程组：

\[ \sum_{i=1}^{n} x_i (y_i - mx_i - b) = 0 \]

\[ \sum_{i=1}^{n} (y_i - mx_i - b) = 0 \]

通过整理这两个方程，我们可以得到 \(m\) 和 \(b\) 的表达式：

\[ m = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i y_i - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n \bar{x}^2} \]

\[ b = \bar{y} - m \bar{x} \]

其中，\(\bar{x}\) 和 \(\bar{y}\) 分别是 \(x\) 和 \(y\) 的平均值：

\[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]

\[ \bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_i \]

通过以上步骤，我们成功地推导出了最小二乘法的公式。这些公式可以用来计算线性回归模型的斜率和截距，从而实现对数据的最佳拟合。希望这个详细的推导过程能帮助你更好地理解最小二乘法的原理和应用。