探索幂级数的7个常用展开式，轻松掌握数学技巧

1. 幂级数：

- 当$f(x) = x^n$时，其幂级数为$sum_{k=0}^infty frac{f(k)}{k!} x^k$，其中$n > 0$且$n eq -1$。

2. 幂级数的收敛半径：

- 对于幂级数$sum_{k=0}^infty a_k x^k$，如果它的收敛半径为$R$，则当$|x| R$时，该级数发散。

3. 幂级数的收敛区间：

- 若幂级数$sum_{k=0}^infty a_k x^k$在$x = 0$处收敛，则它在$(-infty, +infty)$上也收敛。

4. 幂级数的收敛域：

- 幂级数$sum_{k=0}^infty a_k x^k$在$x = 0$处的收敛性决定了其在$(-infty, +infty)$上的收敛性。

5. 幂级数的收敛域：

- 如果幂级数$sum_{k=0}^infty a_k x^k$在$x = 0$处发散，那么它在$(-infty, +infty)$上也是发散的。

6. 幂级数的收敛域：

- 幂级数$sum_{k=0}^infty a_k x^k$在$x = 0$处的收敛性决定了其在$(-infty, +infty)$上的收敛性。

7. 幂级数的收敛域：

- 如果幂级数$sum_{k=0}^infty a_k x^k$在$x = 0$处发散，那么它在$(-infty, +infty)$上也是发散的。

掌握这些幂级数的常用展开式，可以帮助你更好地理解和运用数学技巧。例如，在求解微分方程、积分问题以及信号处理等领域，幂级数都是非常有用的工具。了解幂级数的性质和定理，如柯西-阿达玛定理、泰勒公式等，也能帮助你更深入地理解数学理论。