轻松搞定一阶其次线性微分方程的通解公式

一阶线性微分方程的一般形式是 \( y' + P(x)y = Q(x) \)，其中 \( P(x) \) 和 \( Q(x) \) 是定义在某个区间上的连续函数。这种方程的通解可以通过使用积分因子法来轻松求解。

首先，我们需要找到积分因子 \( \mu(x) \)，其定义为 \( \mu(x) = e^{\int P(x) \, dx} \)。这个积分因子能够将原方程转化为易于积分的形式。具体来说，我们将原方程两边同时乘以积分因子 \( \mu(x) \)，得到：

\[ \mu(x) y' + \mu(x) P(x) y = \mu(x) Q(x) \]

由于 \( \mu(x) = e^{\int P(x) \, dx} \)，我们有 \( \mu(x) P(x) = \frac{d\mu(x)}{dx} \)，因此方程可以写成：

\[ \frac{d}{dx} (\mu(x) y) = \mu(x) Q(x) \]

接下来，我们对两边进行积分：

\[ \int \frac{d}{dx} (\mu(x) y) \, dx = \int \mu(x) Q(x) \, dx \]

\[ \mu(x) y = \int \mu(x) Q(x) \, dx + C \]

最后，我们将 \( y \) 解出来：

\[ y = \frac{1}{\mu(x)} \left( \int \mu(x) Q(x) \, dx + C \right) \]

\[ y = e^{-\int P(x) \, dx} \left( \int e^{\int P(x) \, dx} Q(x) \, dx + C \right) \]

这就是一阶线性微分方程的通解公式。通过这个公式，我们可以直接计算出给定 \( P(x) \) 和 \( Q(x) \) 时的通解，从而轻松搞定这类微分方程的求解问题。