正弦余弦正切公式表格，帮你整理了超全的正弦余弦正切公式，从基础到进阶，一表搞定
正弦、余弦、正切公式表格
一、基础公式
1. 正弦函数 (Sin)
定义：对于任意实数x，其正弦值 sin(x) 是 x 与单位圆上的相应点的 y 坐标。
公式：sin(x) = y
角度与弧度转换：sin(θ) = sin(π/180 × θ)
性质：
+ 在 [0, π/2] 上单调递增
+ 在 [π/2, π] 上单调递减
+ 在 [π, 2π] 上重复之前的模式
+ sin(π/2) = 1, sin(π) = 0, sin(0) = 0
+ sin(-x) = -sin(x)
+ sin(x + 2π) = sin(x)
2. 余弦函数 (Cos)
定义：对于任意实数x，其余弦值 cos(x) 是 x 与单位圆上的相应点的 x 坐标。
公式：cos(x) = x
角度与弧度转换：cos(θ) = cos(π/180 × θ)
性质：
+ 在 [0, π] 上单调递减
+ 在 [π, 2π] 上单调递增
+ 在 [2π, 3π] 上重复之前的模式
+ cos(0) = 1, cos(π) = -1, cos(π/2) = 0
+ cos(-x) = cos(x)
+ cos(x + 2π) = cos(x)
3. 正切函数 (Tan)
定义：对于任意实数x，其正切值 tan(x) 是 x 的正弦值与余弦值的商。
公式：tan(x) = sin(x) / cos(x)
角度与弧度转换：tan(θ) = tan(π/180 × θ)
性质：
+ 在 (0, π/2) 上单调递增
+ 在 (π/2, π) 上无定义
+ tan(π/4) = 1, tan(0) = 0, tan(π) 无定义
+ tan(x) 在 x = π/2 时无定义
+ tan(-x) = -tan(x)
+ tan(x + π) = tan(x)
二、进阶公式
1. 和角公式
sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB
cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinB
tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)
2. 倍角公式
sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)
tan(2x) = 2tan(x) / (1 - tan^2(x))
3. 半角公式
sin(x/2) = ±√((1 - cos(x)) / 2)
cos(x/2) = ±√((1 + cos(x)) / 2)
tan(x/2) = ±√((1 - cos(x)) / (sin(x)))
4. 积化和差与和差化积公式
sin(x)sin(y) = (1/2) × (cos(x - y) - cos(x + y))
cos(x)cos(y) = (1/2) × (cos(x - y) + cos(x + y))
sin(x)cos(y) = (1/2) × (sin(x + y) + sin(x - y))
cos(x)sin(y) = (1/2) × (sin(x + y) - sin(x - y))
5. 辅助角公式
sin(x) + cos(x) = √2 × sin(x + π/4)
sin(x) - cos(x) = √2 × sin(x - π/4)
cos(x) + sin(x) = √2 × cos(x - π/4)
cos(x) - sin(x) = √2 × cos(x + π/4)
三、三角函数的诱导公式
1. 奇偶性
sin(-x) = -sin(x)
cos(-x) = cos(x)
tan(-x) = -tan(x)
2. 周期性
sin(x + 2kπ) = sin(x)
cos(x + 2kπ) = cos(x)
tan(x + kπ) = tan(x)
3. 对称性
sin(x) = sin(π - x)
cos(x) = cos(π - x)
tan(x) = tan(π/2 - x)
4. 其他诱导公式
sin(π/2 - x) = cos(x)
cos(π/2 - x) = sin(x)
tan(π/2 - x) = 1/tan(x)
tan(π/4 ± x) = 1 ± tan(x)
四、三角函数与几何关系
1. 正弦定理
在任意三角形ABC中，a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C) = 2R，其中 a, b, c 分别是三角形的三边长，A, B, C 是相应的角度，R 是外接圆半径。
2. 余弦定理
在任意三角形ABC中，c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos(C)，其中 c 是最长边，A, B, C 是相应的角度。
3. 正切定理
在直角三角形中，tan(A) = 对边 / 邻边。
五、三角函数在积分和微分中的应用
1. 微分
(d/dx) sin(x) = cos(x)
(d/dx) cos(x) = -sin(x)
(d/dx) tan(x) = sec^2(x)
2. 积分
∫ sin(x) dx = -cos(x)
∫ cos(x) dx = sin(x)
∫ tan(x) dx = -ln|cos(x)|
以上公式表格涵盖了正弦、余弦、正切的基础公式、进阶公式、诱导公式、与几何关系以及在积分和微分中的应用。这些公式是三角函数学习的核心，对于理解三角函数的性质、推导其他公式以及解决实际应用问题都至关重要。
