一平方米有多大图解_一平方厘米的疤痕图片

从数列平方和到斐波那契数列的奥秘

上一篇文章中，我们学习了计算整数求和的方法。这次，我们将挑战更高难度——平方和与立方和的计算。

首先回顾一下自然数列的立方和计算方法。我们曾经学习过，将立方体拆解成块，压平后重新拼合，就能直观地理解计算公式：

上图仅展示了1至3的立方和，但该方法适用于任意自然数：

接下来，我们来挑战更复杂的自然数列平方和计算。

我们已经知道，连续奇数的和恰好等于一个平方数：

反之，任何一个平方数都能拆解成连续奇数的和。

以1至5的平方和为例，我们可以用不同颜色代表不同的奇数序列：

拆解后，红色方块有5组，黄色方块有4组，蓝色方块有3组，绿色方块有2组，橙色方块有1组。

由此推论，将1至n的平方数拆解后，长度为1的红色方块有n组，长度为3的黄色方块有n-1组，以此类推，长度为2n-1的方块有1组。

接下来，我们将两个n的平方与红色方块拼在一起，构成一个长为2n+1，高为n的长方形：

同样地，将两个n-1的平方与黄色方块拼在一起，构成一个长为2n+1，高为n-1的长方形：

重复以上步骤，直到构成一个长为2n+1，高为1的长方形：

现在，我们将这n个长为2n+1的长方形堆叠起来：

这个大长方形的横边长为2n+1，竖边长等于1+2+…+n。中间的彩色方块代表1至n的平方和，两边的白色方块也分别等于1至n的平方和。整个长方形的面积等于1至n的平方和的三倍：

这个巧妙的证明方法由 Martin Gardner 和 Dan Kalman 分别独立发现，令人叹为观止！

让我们用一道习题来巩固所学知识：

斐波那契数列，形如 1，1，2，3，5，8，13，…，从第三项起每一项都等于前两项的和。请问，如何计算斐波那契数列的平方和？

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