arcsinx_arcsinX与sinX转换公式图示

在数学领域中，牛顿不仅通过几何方法快速推导出了反正弦函数arcsinX的无穷级数形式，他还进一步探索了正弦函数sinX的无穷级数。这一过程不仅体现了他的卓越智慧，也展示了数学之美。

牛顿在研究过程中，首先设定sinZ等于X。

（图一略）

在前一篇文章中，我们已经得到了关于arcsinX的一些重要结论。

（图二略）

通过sinZ等于X这一设定，我们可以推导出Z的值。

（图三略）

牛顿的独特之处在于他并没有直接去寻找表示X的弧长Z的级数，而是采取了相反的策略。

他巧妙地利用了逆过程，成功地将Z的arcsinX级数转换成了X的sinZ级数。

牛顿首先舍弃了所有指数大于2的项，从而得到了X与Z的近似关系。

（图五略）

他明白，单纯舍弃高阶项并不能得到精确的结果。实际上，正确的表达式应该包含一个待定的级数P，其中X与Z及P之间存在一定的关系。

（图六略）

将X=Z+P代入arcsinX的级数中，经过一系列的计算和整理，我们得到了新的表达式。

（图七略）

在处理这个表达式时，牛顿进一步简化了它，舍弃了P的二次方、三次方及更高次方的项。

接着，他进行了第二轮的简化操作。这次他主要舍弃了分子中除Z最低次方外的所有高次方项，以及分母中的所有Z的高次方项，最终得到了P的精确形式：P=-Z^3/6加上一个待定的级数q。

这样，我们就得到了sinZ级数的前两项：Z减去其三次方的六分之一。

（图十略）

为了确定级数q的具体形式，我们将它带入先前的表达式中，进行进一步的计算。

（图十一略）

经过计算，我们得知q的值等于Z的五次方除以120。我们成功推导出了sinZ级数的前三项。

（图十二略）

通过这种方式，牛顿逐步推导出了正弦函数sinZ的完整无穷级数。他的这一伟大成就不仅加深了人们对三角函数的理解，也推动了数学和科学的发展。