微分方程特解_二阶微分方程求特解公式

二阶微分方程的通用形式

P（x，y，y'，y''）=0

稍微特殊一点的二阶微分方程

y''=(x.y，y')

一、二阶常系数线性齐次微分方程的标准形式

形式如：y''+py'+qy=0

这种形式的微分方程我们称之为“二阶常系数线性微分方程”。

线性的要求：y，y'，y''均为一次项，不包含它们的乘积项。

常系数的定义：p，q均为常数。

二阶常系数线性齐次与非齐次方程

非齐次方程示例：y''+py'+qy=f(x)

齐次方程示例：y''+py'+qy=0

二、二阶常系数线性微分方程的解的结构

定理：如果y1与y2是二阶常系数线性齐次微分方程的两个解，那么任意常数C1和C2的线性组合C1y1+C2y2也是该方程的解。

思考：表达式y=C1y+C2y是否为方程y''+py'+qy=0的通解？

例证：设y1=sinx, y2=cosx为某二阶常系数线性齐次微分方程的解...

线性相关与线性无关

(1)判定两个函数是否线性相关或无关。

若y1/y2为常数，则称y1与y2线性相关；若不等于常数，则称线性无关。

(2)判断n个函数是否线性相关或无关。

定义：设y1，y2，...yn为定义区间I内的n个函数。若存在不全为零的常数k1，k2，...kn，使得在该区间内有k1y1+k2y2+…+knyn=0成立，则称这n个函数在区间I内线性相关；否则称线性无关。

三、二阶常系数齐次微分方程的解法

定理：设y1与y2是二阶常系数线性齐次微分方程的两个线性无关的特解，则y=C1y1+C2y2是该方程的通解。

解法概要：首先找到其两个线性无关的特解y1和y2，然后通过常数变易法构造出通解。

四、求解过程与实例

以特征方程和特征根为基础，推导二阶常系数齐次微分方程的解。包括设解为e^rx并将其带入原方程推导特征方程的过程等。