伴随矩阵的秩_伴随矩阵和原矩阵的秩

矩阵转置，就是交换行和列，这一概念我们再深入理解一下。以一个矩阵A为例，取其列转换成行，这样得到的新矩阵就称为A的转置，记作AT。但其实远不止于此。

实际上，我们可以在不提矩阵的情况下定义线性映射的转置。通过深入理解转置是如何产生的，这将帮助我们更直观地认识它。在这一过程中，我们会遇到更深层次的主题，如协向量、对偶性等。

在数学或物理学中，“covector”这一术语有几种不同的中文翻译，如协变量、对偶向量、对偶形式等。这些翻译都强调了协变量与原向量空间中的向量的对偶关系。

协变量本质上是一种机器，接受一个向量并输出一个数字。这种机器特别之处在于它是“线性”的。这意味着如果有两个向量v1和v2，它们分别被这个机器测量为a1和a2，那么这个机器将测量v1+v2为a1+a2；如果将向量v1缩放一个λ倍，那么它将被测量为λa1。

现在假设有一个线性变换α，将一个向量v变换为另一个向量w。为了强调v和w可以非常不同，假设v是一个二维向量，而w可能是一个三维向量。我们想用协变量测量w，但没有那么直接的秤，所以我们需要借用一个邻居家的秤。更好的方法是让邻居把秤移动到我们家。在这个例子中，α的转置就相当于那个“移动秤”的动作。

这与你所知的矩阵转置有什么关系呢？其实，矩阵从本质上讲，只是线性映射的一个总结。以二维线性映射为例，第一列告诉你向量(1,0)去哪里；第二列告诉你向量(0,1)去哪里。如果我们想知道任意向量(x,y)去哪里，只需将第一列乘以x，再加上第二列乘以y。仅需知道这四个数字（a,b,c,d），就能确定整个线性映射。所以有了线性变换α及其转置，还有总结这两个变换的两个矩阵：最重要的点是：转置只是将某些测量设备（协变量）从其他空间转换回原始空间。

为了更好地理解协变量，我们可以将其与线进行类比。协变量是一个有序的数对，表示在二维空间中从原点出发到点的方向或箭头。而协变量函数则将向量空间中的向量映标量。具体来说，协变量函数会将任何向量映射为其与某个特定向量的标量积。

当我们使用平行线或平行平面来可视化协变量时，我们可以发现相应向量（即协变量）垂直于这些线或平面。向量的长度表示了密度，指向正数的方向。而对于转置操作，它本质上是对基向量进行逆变换，并保留测量值的过程。虽然它可能看起来像是逆操作，但实际上是在相应向量上的逆操作。

对于一些特殊的矩阵变换，如对角矩阵和旋转矩阵，它们的转置操作有其特殊的可视化解释。例如，对于对角矩阵，我们可以将其看作是对协变量进行缩放操作；而对于旋转矩阵，其转置操作实际上是对协变量进行旋转操作。这些特殊矩阵的转置操作都与原操作互为逆操作。

值得一提的是在处理协变量和向量时，我们需要确保所使用的配对关系是线性的。这种线性配对关系在数学上有着严格的定义和要求。虽然我们在这里不需要深入探讨“线性”具体意味着什么，但了解这种配对关系的存在和重要性对于理解矩阵和其转置的操作是非常有帮助的。

让我们来探讨一下向量与协变量的关系。

在某种变换作用下，一个协变量ε可能会被转换为另一个协变量η。当ε与向量v配对，而η与向量w配对时，这种变换似乎暗示着v被转换成了w。尽管这种协变量到协变量的转换过程中v的存在并不显露，但因为配对的存在，我们可以将其视为一种向量到向量的转换。

类似地，当向量v被转换为向量w时，我们也可以将其视为从ε到η的转换。这种观点让我们认识到：

我想强调的是，向量与协变量的配对是有多种可能的。虽然将一个向量与一个协变量进行匹配是一种常见且自然的方法，但它并不是唯一的方式。你还可以选择将向量与如(-a, b)或(a, -b)这样的协变量进行配对，这样依然能保持一一对应的关系。

实际上，存在许多其他的配对选择，而我之所以选择这两种，是因为它们可以在1+1维度的狭义相对论数学中找到应用。任何满足正交条件的矩阵，在这种配对下，都是洛伦兹变换。

如果你对相对论有所了解，你可能会好奇这与相对论有何关联。事实上，从向量到协变量的转换是度规张量的工作，而从协变量回到向量的转换则是逆度规的工作。关键在于所选择的一一对应关系或所使用的度规，因为不同的度规会产生不同的数学描述。