椭圆的三个定义分别是什么

同学们，我们来学习椭圆及其标准方程。

通过观察，我们发现行星绕太阳旋转的轨道是一个椭圆。在画一个椭圆时，可以明显看到所有的轨道都是椭圆，并且太阳就在椭圆的焦点上面。这是开普勒第一定律。

像鸡蛋这样的常见物体也是一个椭圆的形状。

我们可以做一个数学实验来进一步理解椭圆。取一条细绳，在木板上固定两个定点f1和f2，然后将细绳的两端定在这两个定点上。接着拉紧细绳并慢慢旋转，得到的形状也是一个椭圆。

在这个过程中，我们可以看到细绳的长度是固定的，也就是两定点之间的距离没有变化。而细绳对应的动点到两定点的距离之和也是不变的。这就得到了椭圆的定义：平面内与两定点f1和f2的距离和等于常数，且这个常数大于f1f2的点的轨迹，称为椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫做椭圆的焦距。这个常数用2a表示，焦距用2c表示。

现在我们来理解一下这个定义中的含义。距离之和要等于一个常数，这个常数就是到两个定点f1和f2的距离之和，这个距离之和要等于2a。并且这个常数要大于f1f2，也就是说2a要大于2c。

如果mf1加上mf2等于2c，那么它的轨迹是一个线段，而不是椭圆。只有当mf1加上mf2大于2c时，轨迹才是椭圆。

现在我们来建立椭圆的标准方程。以f1f2为x轴，以f1f2的垂直平分线为y轴建立一个坐标系。因为f1f2之间的距离等于焦距等于2c，焦点在圆点的左右两端分布，所以可以把这个点叫做负c零和c零。现在设一个动点p，pf1加pf2等于2a，就可以列出一个式子，再通过一系列的计算，得到椭圆的标准方程。

如果焦点在y轴上，那么标准方程会有所不同。根据椭圆焦点或者长轴的位置不同，我们得到了两种标准方程，一个是焦点在x轴上的标准方程，一个是焦点在y轴上的标准方程。

判断焦点在哪个轴上，可以通过比较分母的大小来判断。哪个分母大，焦点就在哪个轴上。因为交流在一个轴上的a肯定大一些。同理可得abc的关系是c的平方等于a的平方减去b的平方。这个结论在任何情况下都是适用的。另外补充一点就是求轨迹问题中椭圆的焦点确定方式已知椭圆的两个交点坐标可以直接通过求两定点距离来确定焦点的位置正负结合公式可以求出标准方程。此外还需要注意如果椭圆上的点不能在坐标轴上则椭圆标准方程的分母也不能为零所以要特殊排除分母不为零的情况考虑符合的几何图像根据分析已知最后可得到正确答案大家可以对比思考解题过程中使用了椭圆的定义结合其几何特征将代数式的分析与推理转化对应分析轨迹符合预期的几何图形以此来建立代数关系列出式子最后解决问题顺利完成了定义的理解和使用展示过程的解读这与图形的关系展现非常丰富有助于提高学生们的逻辑思考和动手能力将理论和实际应用紧密结合了在学习几何的同时对于相关图形的特性以及它们的本质有了一定认识总结学习此课程帮助大家了解到什么是椭圆其性质和基本形态加深对于椭圆图像特性的理解和记忆帮助解决生活中的相关问题和空间思考能力的提高是非常有意义的一节课最后做了一个关于顶点的轨迹题目供学生们思考和练习题目难度较大但思考路径明确分析过程完整希望大家可以理解和掌握答案选d