二阶微分方程的解法

一、对于包含x的二阶微分方程y"= f(x)

其处理策略是进行积分，通过一次积分将其降为一阶微分方程。

对y"进行一次积分，得到一阶微分方程：y' = ∫f(x)dx + C。

再次积分，即可得到其通解。

以y"=cosx的微分方程为例，展示如下：

第一次积分：y' = ∫cosx dx = sinx + C1。

再次积分：y = ∫(sinx + C1) dx = -cosx + C1x + C2。

其中C1和C2为任意常数。

二、关于不显含y的二阶微分方程y"= f(x, y')

解决此类问题的思路是进行变量代换：设y'为P，则y"即为dP/dx。

将此代换关系代入原方程，得到一阶微分方程dP/dx = f(x, P)。

求解此一阶微分方程，即可得到原方程的通解。

以y"=1/x·y'的微分方程为例，演示如下：

设y'=P，则y"=dP/dx；代入原方程得dP/dx = 1/x·P。

分离变量得dP/P = dx/x；积分得P=C1x。

即dy/dx = C1x；再次积分得y = 1/2C1x^2 + C2。

三、不显含x的二阶微分方程y"= f(y, y')

处理此类问题同样采用代换法：设y'为P。

由于方程中不显含x，故可将P看作是y的函数，即y"=dP/dx可转换为dP/dy·dy/dx=P·dP/dy。

将此关系代入原方程，得到关于P的一阶微分方程P·dP/dy = f(y, P)。

求解此一阶微分方程，即可得到原方程的通解。

以微分方程yy"-y'^2=0为例，进行推导：

设y'=P，则y"=P·dP/dy；代入原方程得y·P·dP/dy - P^2 = 0。

当y≠0且P≠0时，分离变量得dP/P = dy/y；积分得P=C1y。

即dy/dx = C1y；再次积分得y = C2e^(C1x)。