函数零点例题及解析

函数零点问题通常出现在微积分、线性代数和数学分析等领域。一个典型的问题是求解方程 $f(x) = 0$ 的根，其中 $f(x)$ 是定义在实数域上的连续函数。

例题：求解方程 $f(x) = x^2 - 4$ 的根

我们来定义这个函数：

$$ f(x) = x^2 - 4 $$

步骤 1: 确定函数的性质

- 这是一个二次函数，形式为 $ax^2 + bx + c$。

- 系数 $a = 1$, $b = -4$, $c = -4$。

步骤 2: 计算判别式

判别式 $\Delta$ 用于判断方程根的性质：

$$ \Delta = b^2 - 4ac $$

代入我们的系数：

$$ \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 16 + 16 = 32 $$

由于 $\Delta > 0$，这表明方程有两个不同的实根。

步骤 3: 解方程

使用求根公式（也称为二次公式）：

$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} $$

将系数代入：

$$ x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1} $$

$$ x = \frac{4 \pm 4}{2} $$

$$ x_1 = 2, \quad x_2 = -2 $$

步骤 4: 验证根

为了确保根的正确性，我们可以将它们代入原方程检查：

- $f(2) = 2^2 - 4 = 4 - 4 = 0$

- $f(-2) = (-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0$

这两个值都等于0，因此这两个根都是有效的。

方程 $f(x) = x^2 - 4$ 的根是 $x_1 = 2$ 和 $x_2 = -2$。