整数和自然数的差别

在网上发现了一个非常有趣的问题，这个问题看似无厘头，但它背后却涉及到了抽象代数的一些基本概念，于是我决定写一篇文章来详细阐述一下。

人类的数学旅程从最初的数数开始，自然数是最早诞生的数学概念。随着数学应用范围的扩大，新的数类型逐渐产生。在初中，我们对数的体系有了初步的了解，到了高中我们又学习了集合的概念，从集合的角度来研究数。为了方便描述，我们用字母来代表由不同类型数组成的集合，比如：

自然数集：N

整数集：Z

有理数集：Q

实数集：R

复数集：C

相信很多读者都会遇到一个疑问：无理数也是重要的数类型之一，为什么它们的集合没有特定的字母表示呢？是因为教材遗漏了，还是数学家们懒得起名？

其实，无理数集没有用字母表示是有其深层原因的。要理解这一点，我们需要先明确三个基本概念：集合、二元运算和封闭性。

1. 集合：这是我们已经熟悉的概念，指的是具有某些特定性质的元素的集体。

2. 二元运算：这是一种将两个数变成一个数的规则。例如，加法就是一种二元运算。我们一般将减法看作是加法的逆运算，除法看作是乘法的逆运算，所以最基本的二元运算只有两种。那么有没有一元运算呢？答案是肯定的，比如对数运算和开方运算都是一元运算。实际上，一元运算可以看作是一种特殊的函数。至于三元运算、四元运算以及更多元的运算，我们在此不再赘述。

3. 封闭性：这是理解本文的核心概念。封闭性建立在集合与二元运算的基础之上。对于某个数集和某种运算，如果从这个数集里任意选取两个数进行二元运算，得到的结果仍然是这个集合中的数，那么这个数集就对这个二元运算是封闭的。例如，自然数集对加法是封闭的，但对减法则不是。同样地，整数集、有理数集、实数集和复数集也各自有其封闭性。这里特别需要注意的是有理数集。有理数是可以写成两个整数之比的数。我们可以证明有理数集对加减乘除四则运算都是封闭的。这意味着任何两个有理数进行四则运算的结果仍然是有理数。这一点在数学上有严格的证明。在抽象代数中，我们将对加减乘除四则运算都封闭的集合称为数域。实数集和复数集都是数域，而有理数集是最小的数域。换句话说，任何数域都包含有理数集作为其子集。至于无理数集，我们会发现它对四则运算都不封闭。例如，√2和-√2的和、差、积、商都不是无理数。这就是我们不使用单独的字母来表示无理数集的原因。在现代代数学中，数学家们主要关注的是集合及集合中元素的运算结构。如果一个集合上的某种运算是封闭的，那么研究它就具有意义并可以揭示许多新的性质。但如果运算不封闭，那么研究起来就会杂乱无章并无太大意义。对于前面提到的五个集合（自然数集、整数集、有理数集、实数集和复数集），它们都至少有一种运算使其封闭，这使得我们可以利用这种封闭性来探索许多新的性质并解决许多数学问题。因此在实际应用中我们使用这些集合的频率更高。但是对于无理数集合由于其不封闭的特性导致了它在实际应用中不如其他五个集合频繁所以没有必要单独为它命名。

结尾稍微提一下近世代数的发展以及其中一些重要的历史人物和事件。近世代数中最主要的概念——群的思想起源于19世纪法国数学天才伽罗瓦他用群论的方法彻底解决了五次及以上方程根式解的问题在数学发展史上具有开天辟地的意义然而这位数学天才却因为意外而英年早逝是人类数学史上的一大遗憾不过我们现在所学的代数学主要得益于现代代数之母艾米诺特她和她的学生形成的诺特学派彻底改变了代数学的全貌。