梯度定义为什么要求一阶偏导数连续的条件

梯度下降是一种优化算法，它通过沿着损失函数梯度相反的方向进行迭代移动，以最小化损失函数。在机器学习中，我们使用梯度下降来更新模型的参数，以最小化预测误差。这些参数包括线性回归中的系数和网络中的权重。

介绍：

想象一下我们身处一个三维的损失函数图中，我们的目标是从山顶（高成本）移动到深蓝色的谷底（低成本）。箭头表示从任何给定点开始的最陡峭下降方向（负梯度），即损失函数降低最快的方向。

从山顶开始，我们沿着负梯度方向迈出第一步。接着，我们重新计算当前点的梯度，并朝着这个新方向继续移动。这个过程不断重复，直到我们到达谷底的最低点，或者达到无法再下降的点，即局部最小值。

梯度下降的工作原理：

梯度下降的工作原理可以用以下等式来表示：b 是下一个位置，a 是当前位置，减号表示我们要进行最小化操作，而中间的伽玛是学习率，梯度项（Δf（a））代表最陡峭的下降方向。

当我们遇到机器学习问题并希望使用梯度下降来训练算法以最小化损失函数 J（w，b）时，我们会通过调整参数 w 和 b 来寻找其局部最小值。这个损失函数在水平轴上表示参数，而在垂直轴上表示损失函数值。梯度下降的目标是找到损失函数最小值对应的参数值。

我们开始时会随机初始化参数 w 和 b 的值，然后从某个点（图顶部附近）开始梯度下降，沿着最陡峭的下行方向逐步进行，直到达到损失函数的最小值。

梯度下降学习率：

学习率决定了梯度下降在寻找局部最小值过程中迈出的步长。如果学习率设置得太高，可能会导致梯度下降在最小值附近来回震荡；而如果设置得太低，虽然最终会找到最小值，但可能需要很长时间。

为了确保梯度下降算法的正常运行，一个常见的方法是在优化过程中绘制损失函数图。通过查看每次迭代后的损失函数值，我们可以判断学习率是否合适。如果损失函数在每次迭代后都减小，说明学习率可能是一个好的选择。当梯度下降无法再降低损失函数时，它已经收敛。

解决梯度下降挑战：

为了判断梯度下降是否收敛，我们可以使用三种类型的梯度下降：批量梯度下降、随机梯度下降和小批量梯度下降。

批量梯度下降计算整个训练数据集的误差，并在完成一次完整的遍历后才更新模型参数。它的优点是计算效率高且误差梯度稳定。有时稳定的误差梯度可能导致局部最优解，而不是全局最优解。它需要整个训练数据集驻留在内存中。

随机梯度下降（SGD）则对每个训练样本进行更新，这使得参数更新更加频繁。这种方法的优点是能够更快地获得改进率。频繁的更新可能导致嘈杂的梯度，使得误差率在训练过程中波动较大。

小批量梯度下降是批量梯度下降和随机梯度下降之间的折衷方案。它将训练数据集分成小批次，并对每个批次进行更新。这种方法在稳定性和计算效率之间取得了平衡，是训练网络时的首选算法。

关于数学部分：给定成本函数，我们可以通过计算偏导数来得到梯度。这个新的梯度告诉我们当前参数值处的斜率以及应该移动的方向来更新参数。更新的步长由学习率控制。