怎样区分无理数和有理数

关于无限循环小数与分数的关系，这是初中生就接触到的内容。真正明白为何无限循环小数等同于分数的人并不多。现在，我们来证明两个重要的命题，并在此之前明确有理数的定义。

有理数可以通过分数来定义。现在我们有两个命题：

1. 有理数都可以表示为无限循环小数的形式（有限小数可视为0的循环）。

2. 如果一个数能表示为无限循环小数，那么它是有理数。

这两个命题是互为逆命题。我们先来证明第一个命题。由于我们定义的有理数为分数形式p/q，其中p是整数，q是正整数，我们可以通过十进制小数来表示它，本质上就是进行除法运算。

由于p是整数，因此x可以用分数来表示。

既然已经证明了“若一个数能表示为无限循环小数，则它是有理数”，根据原命题与逆否命题的等价性，我们可以得出“无理数不能表示为无限循环小数”。也就是说，无理数只能表示为无限不循环小数。例如，根号二= 1.31……，其小数位数字的变化完全没有规律，显得非常“无理”。“无理数”的名称就是这样得来的。

关于无理数的连分数表示，可能大部分同学在整个中学数学学习生涯中都没有接触过连分数。但在数学的发展历程中，许多数学家都研究过连分数。虽然很多同学可能没有专门学习连分数理论，但可能遇到过关于连分数的习题。

理论上讲，任何无理数都可以表示为连分数的形式。例如，如果要表示成上述形式，操作其实非常简单，只需先分离出整数部分，然后将小数部分倒序，继续分离整数部分，如此无限操作下去。但需要注意的是，连分数的表示并不是唯一的。

例如，某些序列看起来似乎没有规律，但换一种写法就会觉得瞬间有了规律。下面我们以自然对数e和黄金分割数为例，它们用连分数表示的形式分别如下：

序列是｛1,1,2,1,1,4,1,1,6...｝（自然对数e）

黄金分割数用连分数表示则更有规律。

连分数本质上就是无穷级数，这在大学数学分析中会涉及到。这也是为什么一个数的连分数有多种写法，因为一个数的无穷级数有多种表现形式。