向量的数乘运算知识点总结

在复平面内，每一个复数都可以与一个以原点为起点的向量相对应。这样的关系给我们提供了一种全新的理解方式：将原点视为极点，以复数的绝对值为极径，并结合向量与x轴正方向夹角的三角函数值，我们可以将复数表达为三角形式。下面我们来详细解读一下这个过程。

设想一个复数z=a+bi，其在复平面内对应一个向量OZ。其中，向量OZ的模就是该复数的绝对值|z|。当向量OZ与x轴正方向的夹角为时，根据解析几何的知识，我们可以得到a=|z|cos和b=|z|sin。这样，复数z就可以被转化为一种全新的形式——三角形式。

在三角形式下，角度被称为复数z的幅角。而那些位于0和2之间的幅角被称为复数z的幅角主值，记作arg z。

复数的三角形式为我们提供了另一种理解复数的视角。例如，对于在x轴上的实数a，其三角形式可以表示为z1=a(cos0+isin0)=a，此时幅角主值为0。如果我们将其幅角主值变为90，它就会变成z2=a(cos90+isin90)=ai，成为一个纯虚数ai，此时复数对应的向量位于虚轴上。

从代数角度看，将复数z1乘以虚数单位“i”，相当于将其对应的向量逆时针旋转90变成z2对应的向量。前提条件是复平面必须在直角坐标系中建立。

这种体验非常有趣。我们可以通过一个具有完整实部与虚部的复数来验证这个规则：当一个复数乘以虚数单位时，其对应的向量会逆时针旋转90。

将复数转化为三角形式后，我们还可以进一步研究三角形式下的乘法和除法。具体来说，两个复数相乘，在三角形式下，就是它们的模相乘并且幅角相加。如果我们计算n个复数的乘积，只需将这些复数的模相乘，然后将它们的幅角相加即可。这就是复数在三角形式下的n次乘方公式。

同样的逻辑，我们也可以推导出两个非零复数相除的结果：模相除，幅角相减。简单来说，复数的三角形式能够让复数的运算过程得到简化。