tanx求导的详细过程

关于一道涉及三角运算最小值的数学高考真题解析

题目给出的是一个三角形ABC，其中角度A、B、C以及对应的边长a、b、c已确定。根据给出的条件：cosA/(1+sinA)=sin2B/(1+cos2B)，需要求解一个特定的表达式的最小值。这是2022年高考数学一卷的第18题的第二部分内容，其中第一部分涉及角度的解析可参见我的头条文章。现在我们来深入解析这道题目。

解题的主要思路是利用三角学中的正切的半角公式。对题目给出的等式进行恒等变换，使其符合正切的半角公式的形式。由于cosA=sin(/2-A)，我们可以将等式左侧的cosA/(1+sinA)转换为sin(/2-A)/(1+ cos(/2-A))，这等于tan(/4-A/2)。而等式右侧sin2B/(1+cos2B)等于tanB。我们得到tan(/4-A/2)=tanB。考虑到正切函数的周期为，我们知道/4-A/2和B之间存在某种关系。进一步推导得到A=/2-2B，同时C=-A-B=/2+B。接下来，我们将使用正弦定理以及三角恒等变换来寻找所求表达式的最小值。经过一系列的变换和计算，设cos2B=x，由此我们得到对应的函数表达式。通过对该函数求导并令导数等于零，我们可以找到使函数y达到最小值的x值。计算结果显示，当cos2B=√2-1时，所求表达式达到最小值。我们将cos2B的值代入给定的表达式中，得出最小值为4√2-5。除了使用正弦定理的方法外，还可以通过余弦定理结合正弦定理进行三角变换来求解这个问题。具体地，通过推出角度关系A=3/2-2C和B=C-/2，然后将这些角度关系代入特定的表达式中，可以得到都是C的函数的表达式，进而求解最小值。