求导超简单，1n的导数就是1除以n

在数学的微积分领域中，求导是研究函数在某一点处的瞬时变化率的基本方法。对于自然对数函数 $ \ln(x) $，其导数是一个非常基础且重要的结果。根据求导的基本规则，我们可以很轻松地得出 $ \ln(x) $ 的导数。

具体来说，对于函数 $ f(x) = \ln(x) $，其导数 $ f'(x) $ 可以通过以下方式计算得出：

$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\ln(x+h) - \ln(x)}{h} $

利用对数的性质，我们可以将上式中的分子部分改写为：

$ \ln(x+h) - \ln(x) = \ln\left(\frac{x+h}{x}\right) = \ln\left(1+\frac{h}{x}\right) $

当 $ h $ 趋近于 0 时，$ \frac{h}{x} $ 也趋近于 0。根据对数函数在 1 附近的泰勒展开，我们有：

$ \ln(1+y) \approx y $ 当 $ y $ 接近 0 时

将 $ y = \frac{h}{x} $ 代入上式，我们得到：

$ \ln\left(1+\frac{h}{x}\right) \approx \frac{h}{x} $

因此，原来的极限可以近似为：

$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{h}{x}}{h} = \frac{1}{x} $

所以，我们得出结论：自然对数函数 $ \ln(x) $ 的导数是 $ \frac{1}{x} $。

这个结果在解决许多实际问题中非常有用，比如在经济学中分析边际成本、在物理学中计算反应速率等。掌握这一基本求导规则，对于深入学习微积分以及其他相关数学领域至关重要。