arcsin arccos arctan求导

前文已经讨论了在特定条件下，求和与求积、求和与求导以及求和与取极限的运算顺序可以相互交换。现在我们来详细证明这些结论。

此定理说明了在特定条件下，两个极限运算的次序可以调换。现在，我们来探讨函数项级数的相关性质。基于一致收敛函数列的性质，我们可以直接得出以下三个定理。

第一个定理表明，在一致收敛的前提下，求和与求极限的运算顺序可以互换。这意味着在特定的条件下，我们先对函数进行求和，然后再求极限，得到的结果与先求极限再求和得到的结果是一致的。

第二个定理则指出，在一致收敛的条件下，求和与求积分的运算也可以互换。这意味着我们可以通过先对函数进行求和，然后再进行积分运算，得到的结果与先积分再求和得到的结果是一致的。

第三个定理再次强调了，在一致收敛的条件下，求和与求导的运算顺序也可以互换。值得注意的是，一致收敛是求积或求导运算与求和运算可交换的充分条件，但不是必要条件。

关于圆周率的级数，最早是通过逐项积分的方法得到的。例如，印度数学家玛德瓦在十五世纪发现了反正切函数arctan(x)的函数项级数。这个级数的来源是什么呢？arctan(x)是一个超越函数，但其导函数是一个有理函数1/(1+x^2)。

这种情况相当普遍。例如，在之前的文章《阿贝尔一生中最重要的工作——椭圆函数理论详解》中，椭圆积分的导函数也是一个有理函数。对于有理函数1/(1+x^2)，我们可以使用牛顿引以为豪的牛顿二项式（广义二项式定理）将其展开成级数。在文章《牛顿二项式的魅力：牛顿墓碑上的公式解析》中，我们了解到1/(1+x^2)可以展开成无穷级数1-x^2+x^4-x^6+……。这个无穷级率在(-1,1)区间上是一致的收敛的，因此我们可以逐项积分得到arctan(x)在(-1,1)上的无穷级数表示。可以证明这个无穷级数在[1,正无穷大]区间上也是一致收敛的，因此我们可以令x=1得到著名的关于圆周率的无穷级数表示。