导函数连续一定可导，但可导不一定连续啊！

在数学中，函数的可导性和连续性是两个重要的概念，但它们之间的关系并不是简单的互逆关系。首先，我们需要明确这两个概念的定义：一个函数在某一点可导，意味着在该点的左右导数都存在且相等；而函数在某一点连续，则意味着该点的函数值等于其左右极限值。

根据定义，如果一个函数的导函数在某区间内连续，那么这个函数在该区间内一定是可导的。这是因为导函数的连续性保证了导数的存在性和唯一性，从而确保了原函数的可导性。这个结论可以通过导函数的定义和极限的性质来严格证明。

然而，反过来看，一个函数在某区间内可导，并不意味着它的导函数一定在该区间内连续。换句话说，可导性并不一定能推出连续性。这是因为导数的存在只要求左右导数存在且相等，但并不要求导数本身在该点连续。换句话说，导数可能在某点存在但不连续，这种情况在数学中是完全可以存在的。

举个例子，考虑函数f(x) = x^2 sin(1/x) （当x ≠ 0）和f(0) = 0。这个函数在x=0处是可导的，因为其左右导数都存在且相等。但是，它的导函数在x=0处并不连续，因为导数在x=0附近振荡，不满足连续的条件。

综上所述，导函数的连续性可以保证原函数的可导性，但可导性并不能保证导函数的连续性。这是数学中一个重要的区别，需要我们在学习和应用中特别注意。