掌握四个基本不等式常用公式，轻松搞定数学难题！

掌握四个基本不等式是解决数学难题的关键。它们分别是：

1. 均值不等式（算术平均数-几何平均数不等式）：

对于任意非负实数 \(a\) 和 \(b\)，有：

\[

\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}

\]

当且仅当 \(a = b\) 时，等号成立。

2. 柯西-施瓦茨不等式：

对于任意实数 \(a_i\) 和 \(b_i\)（\(i = 1, 2, \ldots, n\)），有：

\[

\left( \sum_{i=1}^n a_i b_i \right)^2 \leq \left( \sum_{i=1}^n a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^n b_i^2 \right)

\]

当且仅当 \(\frac{a_i}{b_i}\) 为常数时，等号成立。

3. 赫尔德不等式：

对于任意非负实数 \(a_i\) 和 \(b_i\)（\(i = 1, 2, \ldots, n\)），以及 \(p \geq 1\)，有：

\[

\sum_{i=1}^n a_i b_i \leq \left( \sum_{i=1}^n a_i^p \right)^{1/p} \left( \sum_{i=1}^n b_i^p \right)^{1/p}

\]

当且仅当 \(\frac{a_i}{b_i}\) 为常数时，等号成立。

4. 闵可夫斯基不等式：

对于任意非负实数 \(a_i\) 和 \(b_i\)（\(i = 1, 2, \ldots, n\)），以及 \(p \geq 1\)，有：

\[

\left( \sum_{i=1}^n (a_i + b_i)^p \right)^{1/p} \leq \left( \sum_{i=1}^n a_i^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{i=1}^n b_i^p \right)^{1/p}

\]

当且仅当 \(\frac{a_i}{b_i}\) 为常数时，等号成立。

通过灵活运用这些不等式，可以轻松解决许多数学难题。例如，在证明不等式、求函数的最值、解决优化问题时，这些不等式都能提供强大的工具。记住，理解不等式的条件和适用范围是关键，这样才能在解题时得心应手。