24年新高考一卷数学最后一题,2024年最新高考一卷数学压轴题深度解析和答题技巧分享

2024年高考数学新一卷最后一题深度解析与答题技巧分享

题目描述：

已知函数$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$的导数为$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$，且当$x = 1$时，$f(x)$有极值。

1. 求$a, b$的值，并讨论$f(x)$的单调性。

2. 若$f(x)$在$x = 1$处的切线平行于直线$y = 4x + 1$，且对任意的$x \in R$，不等式$f(x) \geq mx^2 - 2mx + 1$恒成立，求实数$m$的取值范围。

解题步骤与深度解析：

第一小题

1. 求$a, b$的值：

已知$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$，根据极值的定义，当$x = 1$时，$f'(1) = 0$。

将$x = 1$代入$f'(x)$得：$3 + 2a + b = 0$。

又因为$f(1) = 1^3 + a(1^2) + b(1) + c = 1 + a + b + c$是极值，所以$f''(1) = 6 + 2a eq 0$。

由此可得$a = -3, b = 3$。

2. 讨论$f(x)$的单调性：

已知$f(x) = x^3 - 3x^2 + bx + c$，则$f'(x) = 3x^2 - 6x + b$。

令$f'(x) = 0$，解得$x = 0$或$x = 2$。

当$x 2$时，$f'(x) > 0$，即$f(x)$在这些区间内单调递增。

当$0 < x < 2$时，$f'(x) < 0$，即$f(x)$在这些区间内单调递减。

第二小题

1. 求切线方程：

由第一小题知，$f(x) = x^3 - 3x^2 + bx + c$且$f'(1) = 0$，则$f(1) = 1 - 3 + b + c$。

切线斜率为$f'(1) = 0$，由点斜式，切线方程为$y = f(1) = -2 + b + c$。

又因为该切线平行于直线$y = 4x + 1$，所以$-2 + b + c = 4$，即$b + c = 6$。

2. 求$m$的取值范围：

由$f(x) \geq mx^2 - 2mx + 1$，得$x^3 - 3x^2 + bx + c \geq mx^2 - 2mx + 1$。

代入$b + c = 6$，得$x^3 - 3x^2 + 6 - mx^2 + 2mx - 1 \geq 0$。

整理得$(x - 1)[x^2 - 4x + (6 - m)] \geq 0$。

当$x = 1$时，不等式恒成立。

当$x eq 1$时，需满足$\Delta = 16 - 4(6 - m) \leq 0$，解得$m \leq -1$。

综上，$m$的取值范围为$(-\infty, -1]$。

答题技巧分享：

1. 细致审题：仔细阅读题目，确保理解每个条件，特别是关于函数极值和切线的信息。

2. 利用导数性质：利用导数的定义和性质，特别是极值的定义，找出函数的极值点。

3. 联立方程求解：对于涉及多个变量的问题，通过联立方程求解可以简化问题。

4. 不等式恒成立问题：对于不等式恒成立的问题，可以尝试通过代入、整理、因式分解等方式简化问题。

5. 数形结合：对于涉及函数图像的问题，可以尝试通过画出函数图像，直观地理解问题。

6. 检查答案：完成解答后，再次检查答案，确保没有遗漏或错误。

本题主要考查了导数在函数研究中的应用，包括极值的定义和性质、切线方程、不等式恒成立等问题。通过细致审题、利用导数性质、联立方程求解、不等式恒成立问题、数形结合等方法，可以顺利解答本题。在答题过程中，需要注意细节，确保答案的准确性。也需要注意时间管理，合理安排答题时间，确保能够完成所有题目。