高三数学函数经典例题,让你轻松掌握函数解题技巧，不再发愁

高三数学函数经典例题与解题技巧

在高三的数学学习中，函数是一个非常重要的主题。无论是三角函数、指数函数、对数函数，还是其他类型的函数，都需要我们掌握其性质、解题技巧以及应用。本文旨在通过一些经典的例题，帮助大家轻松掌握函数解题技巧，不再为函数问题发愁。

三角函数解题技巧

1. 例题1：求函数$y = \sin(2x + \frac{\pi}{3})$的单调区间。

【分析】

本题主要考察正弦函数的单调性。正弦函数在$[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$区间内是单调递增的，在$[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$区间内是单调递减的。

【解答】

设$2k\pi - \frac{\pi}{2} \leq 2x + \frac{\pi}{3} \leq 2k\pi + \frac{\pi}{2}$，$k \in Z$，解得：$k\pi - \frac{5\pi}{12} \leq x \leq k\pi + \frac{\pi}{12}$，$k \in Z$。

所以函数$y = \sin(2x + \frac{\pi}{3})$的单调递增区间为$\lbrack k\pi - \frac{5\pi}{12},k\pi + \frac{\pi}{12}\rbrack$，$k \in Z$。

设$2k\pi + \frac{\pi}{2} \leq 2x + \frac{\pi}{3} \leq 2k\pi + \frac{3\pi}{2}$，$k \in Z$，解得：$k\pi + \frac{\pi}{12} \leq x \leq k\pi + \frac{7\pi}{12}$，$k \in Z$。

所以函数$y = \sin(2x + \frac{\pi}{3})$的单调递减区间为$\lbrack k\pi + \frac{\pi}{12},k\pi + \frac{7\pi}{12}\rbrack$，$k \in Z$。

2. 例题2：求函数$y = \cos^2x - \sin x$的值域。

【分析】

本题主要考察三角函数的恒等变换及二次函数的性质。我们需要将$y = \cos^2x - \sin x$转化为关于$\sin x$的二次函数，再求其值域。

【解答】

$y = \cos^2x - \sin x = 1 - \sin^2x - \sin x = - (\sin x + \frac{1}{2})^2 + \frac{5}{4}$。

因为$-1 \leq \sin x \leq 1$，所以$y = - (\sin x + \frac{1}{2})^2 + \frac{5}{4} \in \lbrack -1,1\rbrack$。

所以函数$y = \cos^2x - \sin x$的值域为$\lbrack -1,1\rbrack$。

指数函数与对数函数解题技巧

1. 例题3：求函数$y = 2^{x + 1} - 3 \cdot 2^x + 2$的零点。

【分析】

本题主要考察指数函数的性质。我们需要将函数$y = 2^{x + 1} - 3 \cdot 2^x + 2$转化为关于$2^x$的方程，再求其零点。

【解答】

令$t = 2^x$，则$y = t^2 - 3t + 2 = (t - 1)(t - 2)$。

令$y = 0$，则$t = 1$或$t = 2$。

当$t = 1$时，$2^x = 1$，$x = 0$。

当$t = 2$时，$2^x = 2$，$x = 1$。

所以函数$y = 2^{x + 1} - 3 \cdot 2^x + 2$的零点为$x = 0$和$x = 1$。

2. 例题4：求函数$y = \log_{2}(x^2 - 2x - 3)$的定义域。

【分析】

本题主要考察对数函数的定义域。我们需要求出使得$x^2 - 2x - 3 > 0$的$x$的取值范围。

【解答】

因为$x^2 - 2x - 3 > 0$，解得$x 3$。

所以函数$y = \log_{2}(x^2 - 2x - 3)$的定义域为$( - \infty, - 1) \cup (3, + \infty)$。

通过以上四个例题，我们可以看到，无论是三角函数、指数函数还是对数函数，都需要我们掌握其性质、解题技巧以及应用。对于三角函数，我们需要掌握其单调性、周期性、恒等变换等性质；对于指数函数与对数函数，我们需要掌握其定义域、值域、单调性等性质。

在解题过程中，我们需要将函数问题转化为方程或不等式问题，再利用函数的性质进行求解。我们还需要注意函数的定义域和值域，确保我们的解是符合题目要求的。

我们还需要注意一些常见的解题技巧，如换元法、配方法、分离常数法等。这些技巧可以帮助我们将复杂的函数问题简化，从而更容易地找到解题的突破口。

通过本文的学习，我们希望能够掌握函数解题技巧，不再为函数问题发愁。我们也需要认识到，函数是数学中非常重要的一个主题，它涉及到很多其他的知识点和技巧。我们需要不断地学习和练习，才能更好地掌握函数知识，提高我们的数学水平。