圆柱的体积_圆柱体积公式推导


球体的体积是如何确定的呢?

众所周知,球体体积的计算公式为三分之二乘以π乘以半径的立方,这个公式背后有着微积分的推导依据。但今天,我们将采用一种更为初等的方法来解释这个问题。

让我们观察一个情景:当两个平行平面间放置了两个形状不同的物体,随着中间平面的上下移动,如果两个平面间所截得的形状面积始终保持一致,那么这两个物体的体积就必然相等。这就是祖暅原理。

祖暅原理的发现者是祖冲之的儿子。而当我们想要推导球体的体积公式时,可以借助这一原理。由于球体体积的公式对我们来说是未知的,我们需要将其与已知的几何体体积进行关联。与球体最为相关的几何体就是圆柱和圆锥,它们的体积公式是已知的。

如果能构建出球体与圆柱、圆锥的体积关系,那么我们就能推导出球体的体积公式了。实际上,阿基米德已经为我们找到了这种关系。如图所示,球体的体积等于等底等高的圆柱体积减去同底等高的圆锥体积。

接下来,我们将通过一个示例来具体证明这一点。假设有一个球体,其半径为一定值。我们构造一个底面半径同样为该值的圆柱和一个顶点相对的底面半径也相同的圆锥,它们的高度也各自设定为一定的值,并将这些几何体置于同一水平面上。

使用水平面截取这三个几何体,我们可以得到三个蓝色的截面。当我们从上方观察时,可以看到三个圆形的截面。为了证明球体的体积等于圆柱体积减去两个圆锥体积,我们可以根据祖暅原理进行推导。具体来说,我们需要证明第一个圆的面积等于后两个圆的面积差。

具体推导过程如下:假设截面位于球心上方距离为h的位置。在球体中,我们连接球心、截面圆、圆心以及截面上的任意一点,形成一个直角三角形。根据勾股定理,我们可以得到截面圆的面积计算公式。对于圆柱的截面面积,其显然等于π乘以半径的平方。而对于圆锥,我们取其顶点截面圆、圆心和截面意一点连接,也可以形成一个直角三角形,并利用相似三角形的性质推导出其截面圆的面积计算公式。

通过对比这三个面积公式,我们可以发现S1等于S2减去S3的关系。根据祖暅原理,我们可以得出球体的体积等于圆柱体积减去两个圆锥的体积。进一步化简,我们就可以得到球体体积的计算公式。