如何判断两个矩阵相似_矩阵相似的重要性

矩阵的对角化包含相似对角化与合同对角化两种途径：

图例一

关于一般矩阵的相似对角化，其情形大致如下所述：

首先面临的是能否对角化的问题。

图例二

即便一个矩阵可以进行相似对角化，是否也必然能进行正交相似对角化呢？

由图例可知，矩阵可以相似对角化并不意味着一定可以正交相似对角化，因为特征向量在正交化后可能不再保持原矩阵的特征向量属性，例如正交化后的β2就不再是原矩阵A的特征向量。

关于矩阵的合同，通常讨论的是实对称矩阵。

实对称矩阵要能进行相似对角化也需满足特定条件。

图示表明，实对称矩阵经过合同变换后，由非正交矩阵C作用，可得到二次型的标准形式。这个矩阵C可通过配方法等途径求得。

综合上述信息，对于正交矩阵而言，相似变换与合同变换实际上有着紧密的联系。

从实际求解过程中我们可以看到，虽然是一个关于矩阵合同的问题，但实际上却是通过矩阵的相似变换来解决的。这其中正是利用了正交矩阵的逆等于其转置的性质，从而将矩阵合同问题转化为矩阵相似问题。

值得注意的是，虽然我们通过相似变换得到了特征向量α1、α2、α3，并由它们组成了矩阵P。但这个矩阵P不能直接用于图例一中的合同变换，因为无法保证其逆会等于它的转置。只有当这些特征向量经过正交化后，它们才能作为合同变换的矩阵F使用。

简而言之：

1. 矩阵的对角化包含相似对角化和合同对角化两种策略。

2. 无论是采用哪种方式对角化，都存在可行与否的问题。

3. 通过特定的正交矩阵，合同对角化的问题可以转化为相似对角化的问题进行处理。