抛物线上某一点的切线怎么求

揭秘阿基米德三角形在抛物线中的深度应用

尽管这是一个经典的话题，但它所涉及的内容却与圆锥曲线的切线、切点弦问题以及极点极线问题紧密相连。理解这些内容，将有助于我们更好地掌握这三者的关系，相互印证，深化理解。在阅读本文之前，建议先了解以下相关知识：

1. 抛物线中的切线问题详解

2. 圆锥曲线中的双切线问题整理

3. 圆锥曲线与极点极线的基础知识

阿基米德三角形是一个具有广泛应用的知识点，不仅在抛物线中有其身影，在椭圆和双曲线中也能见到它的身影。它涉及切线、二元求导等知识点，因此在出题时通常以抛物线的形式出现，尤以函数形式的抛物线x²=2py为主。本文将重点介绍其在抛物线中的应用。

阿基米德三角形的定义是：在圆锥曲线外取一点P，从该点作圆锥曲线的两条切线，设切点为A,B，研究的对象就是△PAB。如果我们从极点极线的角度分析，那么AB所在的直线就是点P对应的极线。如果P点为定点，则AB所在的直线为定直线。当AB内有一点Q时，根据配极原理，我们可以得到一些有趣的性质。

下面是一些关于阿基米德三角形的常用结论：

结论1：切线PA,PB方程的证明过程已在上述第一条链接中详细阐述，考试时可以直接使用。

结论2：关于点P坐标的求法需要注意，这在后续的性质中会多次用到。关于N点处的切线和AB平行的结论可以用导数理解。由于M,N两点的横坐标相同，如果将抛物线x²=2py向上平移，M点会在新的抛物线上。由于平移前后的抛物线形态相同，所以它们的导数也相同，因此M,N两点处的导数值相同。

结论3：利用切点弦方程的思想可以证明。点P的极线是AB，Q在AB上，所以Q点对应的极线经过点P。因此确定的Q点对应确定的过点P的直线方程，反之亦然。

这是一道经典的高考真题，可以通过向量夹角余弦值相等来证明两角相等。结合性质3，我们可以知道，如果知道AB内恒过的定点，就可以求出点P所在的轨迹。这条轨迹并不一定与x轴平行，只有当明确知道AB恒过的定点在y轴上时，才能说明P点所在的直线为与y轴垂直的直线。

性质7和8涉及到焦点弦问题中的结论。如果动直线AB过焦点，那么A,B两点处的切线会相交于准线上。以AB为直径的圆与准线的切点即为P点。关于阿基米德三角形还有其他不常见也不常用的结论，有兴趣的同学可以自己去查找。阿基米德三角形与高考的结合通常以动点定点、动直线定直线、切点弦等角度出题，本身难度不大。下期我们将深入讲解阿基米德三角形在抛物线中的应用实例。