三角函数平方和公式推导

【题目】

在正方形ABCD中，AC和BD相交于点E，点F位于AC上，延长BF与CD相交于点G。已知CF的长度为4厘米，AF的长度为12厘米。我们要求解红色三角形EFG的面积。

【分析与解答】

要求解三角形的面积，虽然基本的面积公式是底乘高除以2，但在这个问题中，我们不知道底和高的具体数值。我们需要换一种思路。

根据题目给出的信息，我们知道正方形的对角线长度是CF和AF的和，即16厘米。由此我们可以推算出正方形的面积为16乘以其对角线的一半再除以2，即12厘米。那么，红色三角形EFG的面积与这个面积有什么关系呢？

由于点E是正方形的对角线交点，所以它是AC和BD的中点。我们可以知道CE的长度是AC的一半，即8厘米。由此我们可以推导出EF的长度是CE减去CF，也就是4厘米。这意味着点F是CE的中点，所以三角形EFG的面积等于三角形ECG的面积。

接下来，我们知道三角形ECD的面积是正方形面积的四分之一，即32平方厘米。如果我们能确定CD和DG的关系，就可以求出三角形ECG的面积。

考虑到AF与CF的比例是3:1，我们可以知道三角形ABF是三角形CGF的放大版。这意味着AB和CG的比例也是3:1。CD和CG的比例也是3:1。利用这个信息，我们可以计算三角形ECG的面积是三角形CDE面积的3倍，即96平方厘米。最后我们可以得出红色三角形EFG的面积是三角形ECG面积的一半，也就是4厘米。