三角形线段比等于面积比

一、截长补短法原理概述

截长补短法是一种在证明线段数量关系时常用的辅助线添加方法，尤其在处理涉及线段和、差、倍、分等问题的证明中，其效用显著。该方法主要是通过截取或延长线段，构造全等三角形，以证明相关线段之间存在特定的数量关系。

具体来说，截长法是在长线段上截取一段与某一短边相等的线段，然后证明剩下的线段与另一短边相等，从而证明长线段是这两短线段的和。补短法则是将较短的线段延长到与另一条已知短线段等长，然后研究延长后的线段与最长已知线段的关系。

当遇到满足以下情形的线段a、b、c、d时，该方法尤为适用：

1. a大于b；

2. a与b的和等于c；

3. a与b的差或和等于c与d的差或和。

初中数学中，截长补短法原理尤为重要。

二、截长补短法应用详解及实例

下面我们通过具体的例子来详细解释截长补短法的应用。

例1：在△ABC中，已知AB大于AC，∠1等于∠2，P为AD上的任意一点。求证：AB减去AC大于PB减去PC。

证明过程：在AB上截取一段AN等于AC。由于∠1等于∠2且AP等于AP，所以△APC全等于△APN。PN等于PC。在△BPN中，由于BN大于PB减去PN，所以AB减去AC大于PB减去PC。

本题也可采用补短法来证明，读者可自行尝试。

例2：在△ABC中，∠B等于60，AD、CE是△ABC的角平分线，二者交于点O。求证：AC等于AE加上CD。

证明过程：在AC上截取AF等于AE。由于AO平分∠BAC，所以△AEO全等于△AFO。∠AOE等于∠AFO。由于∠B等于60，AD、CE是△ABC的角平分线，所以∠AOE等于∠COD等于∠ACO加上∠CAO等于60。由此可证，AC等于AF加上FC，即AC等于AE加上CD。

值得注意的是，当遇到一个角的邻边相等时，可以通过旋转一边及其所在三角形，然后与另一边重合，进而构造全等三角形。

例3：问题1：在等腰梯形ABCD中，AD平行于BC，AB等于BC等于CD，点M、N分别在AD、CD上，∠MBN等于二分之一∠ABC。探究线段MN、AM、CN之间的数量关系。问题2：在四边形ABCD中，AB等于BC，∠ABC加上∠ADC等于180，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN仍然等于二分之一∠ABC，那么线段MN、AM、CN又有怎样的数量关系？并给予证明。

例4：在△ABC中，∠A等于60，D在∠A的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC。当∠BDC等于120时，证明BC等于BE加上CF。

证明过程：延长FA至点M，使FM等于BE，然后连接MD。通过一系列的推导和三角形全等的证明，最终可以得出BC等于BE加上CF的结论。

练习1：已知AB平行于CD，∠1等于∠2，∠3等于∠4。求证：BC等于AB加上CD。