计算一下tan105°的值，带根号真不简单！

计算tan105°的值确实需要一些耐心和技巧，尤其是涉及到根号的计算时。首先，我们可以利用角度的和差公式来简化问题。我们知道105°可以表示为60°和45°的和，即105° = 60° + 45°。因此，我们可以使用正切的和公式：

\[ \tan(105°) = \tan(60° + 45°) \]

根据正切的和公式，我们有：

\[ \tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)\tan(b)} \]

将a = 60°和b = 45°代入公式，我们得到：

\[ \tan(105°) = \frac{\tan(60°) + \tan(45°)}{1 - \tan(60°)\tan(45°)} \]

我们知道：

\[ \tan(60°) = \sqrt{3} \]

\[ \tan(45°) = 1 \]

代入这些值，我们得到：

\[ \tan(105°) = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1} \]

简化分母：

\[ \tan(105°) = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}} \]

为了进一步简化这个表达式，我们可以乘以分母的共轭，即 \(1 + \sqrt{3}\)，以消除分母中的根号：

\[ \tan(105°) = \frac{(\sqrt{3} + 1)(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} \]

分母变为：

\[ (1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3}) = 1^2 - (\sqrt{3})^2 = 1 - 3 = -2 \]

分子变为：

\[ (\sqrt{3} + 1)(1 + \sqrt{3}) = \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + 1 \cdot 1 + 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3} + 3 + 1 + \sqrt{3} = 2\sqrt{3} + 4 \]

因此，我们有：

\[ \tan(105°) = \frac{2\sqrt{3} + 4}{-2} \]

将分子分母分别除以2：

\[ \tan(105°) = \frac{2(\sqrt{3} + 2)}{-2} = -(\sqrt{3} + 2) \]

所以，tan105°的值为：

\[ \tan(105°) = -(\sqrt{3} + 2) \]

这个结果包含了根号，确实有些复杂，但通过逐步简化和利用公式，我们最终得到了这个值。