上三角的逆矩阵怎么求公式

一、关于李群的概念

李群是一种融合了光滑流形和群结构的数学对象。其特点是群运算（包括乘法和求逆）都是光滑映射。具体来说，它有以下几个核心特点：

1. 流形特性：李群的结构在局部上类似于欧几里得空间，如Rn。

2. 群的基本性质：满足封闭性、结合律，存在单位元，每个元素都有逆元。

3. 光滑性：群运算，如GG到G的乘法，以及G到G的逆元映射，都是无限次可微的（即光滑）。

常见的李群例子包括：

- 一般线性群GL(n,R)，包含所有可逆的nn实矩阵。

- 特殊正交群SO(n)，包含所有行列式为1的正交矩阵，用于描述旋转。

- 特殊酉群SU(n)，行列式为1的酉矩阵，在量子力学中经常遇到。

二、李群的运算规则详解

1. 群乘法：对于任意g, h∈G，群乘法满足结合律g(hk)=(gh)k，并且存在单位元e∈G，使得ge=eg=g。

2. 逆元的性质：每一个元素g都有对应的逆元g^-1，满足gg^-1=g^-1g=e。

3. 光滑性：在李群中，乘法和求逆操作都是光滑映射，这是李群区别于一般群的重要特征。

4. 与李代数的关系：李群的逆元可以通过指数映射与李代数中的元素建立关联。如果X∈g（李代数），那么e^X∈G，其逆元与李代数中的元素有密切关系。

5. 生成元：李群的生成元对应其李代数g的元素，二者通过指数映射相联系。生成元在物理中对应群的无穷小变换，如旋转的角速度、平移的方向等。

三、李群的组成元素

1. 参数化表示：作为流形的李群，其元素可以通过局部坐标进行参数化表示。

2. 连通分支：李群可能是连通的，如SO(n)，也可能由多个连通分支组成，如O(n)包含行列式为1的分支。

3. 紧致性：在物理中，紧致李群（如SU(n), SO(n)）尤为重要，因为它们的表示论具有良质（如有限维不可约表示）。

四、李群与李代数之间的对应关系及在物理中的应用

1. 指数映射与伴随表示：李群与李代数之间通过指数映射建立紧密联系。

2. 物理中的应用：李群在描述物理系统的对称性方面有着广泛应用。例如，连续对称性对应的李群生成元给出守恒量（如角动量与旋转群SO(3)）。在规范场论中，规范群（如SU(3)）的李代数生成元对应规范玻色子（如胶子）。

李群是一种兼具光滑流形和群结构的数学对象，其运算（乘法和求逆）是光滑的。逆元的存在和生成元与李代数的关联是李群的重要特性。它在物理中广泛应用于描述连续对称性，沟通了几何（流形）和代数（群）的结构。