线线平行→面面平行推论

昨天我们引入了空间向量来处理立体几何问题，并重点提到了法向量这一关键概念。今天，我们来详细探讨平面的法向量，学习如何找到它，并了解它如何帮助我们轻松判断线面、面面之间的平行与垂直关系。

知识点一：平面的法向量（Normal Vector of a Plane）

通俗解释：每个平面（无限大）都有一个垂直于它的“指向标”，我们称之为法向量。这个指向标的方向是垂直于该平面的。它是一个非零向量，起到指示方向的作用，且垂直于该平面。

定义：如果一个非零向量n垂直于平面内的任意向量，或者等价地，垂直于平面内两个不共线的向量，那么向量n就被称为平面的法向量。

重要特性：一个平面有无数个法向量，它们方向相同或相反，模长可以是任意非零实数。这些法向量都是共线（平行）关系。如果n是平面的一个法向量，那么kn（k是任意非零实数）也是的法向量。

知识点二：如何求平面的法向量（Finding a Normal Vector）

通俗解释：怎么找到这个垂直于平面的“指向标”呢？常用的方法是：在平面内找到两个不共线的向量，然后找到一个同时垂直于这两个向量的向量，这个向量就是法向量。

坐标法求解：设平面的一个法向量为n=(x, y, z)。在平面内选取两个不共线的向量a=(a1, a2, a3)和b=(b1, b2, b3)。（通常可以通过选取平面上的三个不共点A, B, C，然后计算vec{AB}和vec{AC}得到）。根据法向量的定义，n必须垂直于a和b，即na=0和nb=0。这就形成了一个关于x, y, z的不定方程组。解这个方程组，就可以得到平面的一个法向量。

知识点三：利用法向量判断线面、面面的平行关系（Using Normal Vectors for Parallelism）

通俗解释：法向量是平面的“身份证”，利用它可以方便地判断平行关系。判定方法：线面平行（l // ）：直线l的方向向量d必须垂直于平面的法向量n。计算方法是d⊥n且l不在内。面面平行（ // ）：两个平面和的法向量n1和n2必须平行（共线）。计算方法是n1 // n2。对比记忆：线面平行是“方向垂直法向”，面面平行是“法向平行法向”。

知识点四：利用法向量判断线面、面面的垂直关系（Using Normal Vectors for Perpendicularity）

通俗解释：判断垂直关系时，法向量同样非常有用。判定方法：线面垂直（l ⊥ ）：直线l的方向向量d必须平行于平面的法向量n。计算方法是d // n。面面垂直（ ⊥ ）：两个平面和的法向量n1和n2必须垂直。计算方法是n1 ⊥ n2。对比记忆：线面垂直是“方向平行法向”，面面垂直是“法向垂直法向”。

知识点五：建立空间直角坐标系的原则（Principles for Setting up Coordinate System）

通俗解释：要想用坐标法解决立体几何问题，首先要建立一个合适的空间直角坐标系。建立坐标系的原则包括利用垂直关系、利用对称性、简化坐标和满足右手系。关键是要找到共点且两两垂直的直线方向来建立坐标系。

练习题解答：

已知平面的法向量为n=(2, -1, 3)，选项中可以作为的法向量的有选项A的(1, -1/2, 3/2)和选项C的(4, -2, 6)，因为它们都是n的倍数。在一个正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，建立坐标系后，平面ADD₁A₁的一个法向量可以是(0, 2, 0)，平面A₁BD的一个法向量可以是(-1, 0, 1)。直线l的方向向量d=(1, 0, -1)，平面的法向量n=(2, 1, 2)，因为d垂直于n，所以l与平行。两个平面和的法向量n₁=(1, -2, 1)和n₂=(-2, 4, -2)，因为它们是倍数关系，所以与平行。对于一个直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，建立一个合适的坐标系需要考虑到AC、BC和AA₁的垂直关系，可以选择以A为原点，AC、AB和AA₁为坐标轴进行建立。所有顶点的坐标可以根据这个