等比数列前n项和公式推导为何要乘q？

等比数列的前n项和公式推导中，为什么要乘以q，这个问题涉及到等比数列的求和过程。等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个常数就是公比q。

在推导等比数列的前n项和公式时，我们首先列出前n项和的表示式：S_n = a_1 + a_1q + a_1q^2 + ... + a_1q^(n-1)。其中，a_1是首项，q是公比，n是项数。

为了简化这个表达式，我们考虑将整个和式乘以公比q，得到：qS_n = a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 + ... + a_1q^n。

现在，我们观察原式和乘以q后的式子，发现它们有一定的差异。具体来说，qS_n中的每一项都比S_n中相应位置上的项多了一个首项a_1和末项a_1q^n。

通过将qS_n从S_n中相减，我们可以得到：(S_n - qS_n) = a_1 - a_1q^n。这个式子可以简化为：S_n(1 - q) = a_1(1 - q^n)。

最后，我们将两边同时除以(1 - q)，得到等比数列的前n项和公式：S_n = a_1(1 - q^n) / (1 - q)。

因此，乘以q是为了在相减的过程中消去中间的项，从而简化计算，最终得到等比数列的前n项和公式。