丹凤千字科普：代数式包含什么内容（详细资料介绍）

【学习目标】

掌握运用二次函数解决现实问题的能力，培养分析、解决问题的能力，并增强应用数学的意识。

理解二次函数作为刻画现实世界的有效数学模型的重要性。

【知识点梳理】

一、二次函数在解决实际问题中的应用

利用二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同之处在于，学习了二次函数后，表示量与量之间的关系的代数式是含有两个变量的等式。

对于应用题，需要注意以下步骤：

1. 审清题意，明确题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系（即函数关系）。

2. 设出两个变量，注意区分自变量和因变量，同时要注意所设变量的单位要准确。

3. 根据题意列出函数表达式，抓住题中含有的等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数。

4. 按照题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。

5. 检验所得解是否符合实际，即是否为所提问题的答案。

6. 写出答案。

常见的问题包括：求最大（小）值（如求最大利润、最大面积、最小周长等）、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等。解决这些实际问题的关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式。

二、建立二次函数模型求解实际问题

一般步骤为：

1. 恰当地建立直角坐标系；

2. 将已知条件转化为点的坐标；

3. 合理地设出所求函数关系式；

4. 代入已知条件或点的坐标，求出关系式；

5. 利用关系式求解问题。

利用二次函数解决实际问题时，要注意以下几点：

1. 必须了解二次函数的基本性质；

2. 学会从实际问题中建立二次函数的模型；

3. 借助二次函数的性质来解决实际问题。

【典型例题】

一、利用二次函数求实际问题中的最大（小）值

【例题1】某水产品养殖企业为了指导该企业的某种水产品养殖和销售，对该水产品历年市场行情和养殖情况进行了调查。发现这种水产品的每千克售价y1（元）与销售月份x（月）满足关系式y1 = -3/8x + 36，而其每千克成本y2（元）与销售月份x（月）之间的函数关系如图所示。

（注：自变量的取值范围应结合实际情况考虑。）问“五一”之前，哪个月出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？

【答案与解析】【点评】在用二次函数解决实际问题时，需要注意自变量的取值范围。有的题目结果看似合理，但不一定符合题意。本题中，“五一”之前的销售月份是限制条件之一，需要在求解过程中予以考虑。二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题【例题2】某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽为4米，顶部距离地面的高度为4.4米，现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，其装货宽度为2.4米，问该车装货后的最大高度应是多少才能安全通过大门？ 【答案与解析】【点评】解决这类问题的关键在于将实际问题转化为二次函数问题。通过建立适当的直角坐标系，将已知条件转化为点的坐标，然后确定函数关系式，再利用关系式求解问题。三、利用二次函数解决跳水、投篮等实际问题【例题3】（如图）一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮筐。已知篮筐中心到地面的距离为3.05米，若该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手。问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 【答案与解析】【点评】解决这类问题的关键在于建立适当的平面直角坐标系，构造函数模型，将已知数据转化为点的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式，再利用解析式求出抛物线上已知横坐标的点的纵坐标。结合已知条件，得到实际问题的解。四、利用二次函数求图形的边长、面积等问题【例题4】一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以AD为直径的半圆O，下部是一个矩形ABCD。 （注：自变量的取值应结合实际情况。）①求隧道截面的面积S（m）关于半径r（m）的函数关系式。②若CD的长度在2米至3米之间，求隧道截面的面积S的最大值。 【答案与解析】【点评】解决此类问题，一般先应用几何图形的面积公式，写出图形的面积与边长之间的关系，然后用配方法或公式法求顶点坐标。结合二次函数的性质与自变量的取值范围确定最大面积。以上各类问题都需要结合实际情况进行分析和求解。