丹凤千字科普:牛顿最简单三个公式(详细资料介绍)


丹凤千字科普:牛顿最简单三个公式(详细资料介绍)  

对于求解方程 x^3/3 - x^2 + 2 = 0 的实根,保留三位有效数字的问题,我们可以采用以下两种方法。

解法一:使用牛顿切线法求解近似解。首先定义函数 f(x) = x^3/3 - x^2 + 2,并计算其一阶导数 f'(x) = x^2 - 2x 和二阶导数 f''(x) = 2x - 2。通过观察函数性质和导数变化,我们知道函数有两个稳定点。由于三次函数的特性,当系数为正且两个极值均大于零时,函数只有一个实根。结合函数在特定区间的值变情况,我们可以确定实根的大致位置。接着,利用牛顿切线法,通过在区间内选取不同的初始点进行迭代计算,逐步逼近实根。最终得到近似解为 ≈ -1.20。

解法二:使用卡尔丹公式法求解准确根。首先对方程进行变换,得到 t^3 - 3t + 4 = 0 的形式。根据卡尔丹公式,计算出判别式△,进而求得方程的实根。计算结果为 t ≈ -0.645,结合变换关系 x = t + 1,得到 x 的近似解为 -1.20。比较两种方法,卡尔丹公式法更为精确,但仅限于求解三次方程。对于更高次的方程或其他无求根公式的方程,仍需采用牛顿切线法等数值方法进行求解。

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