揭秘三角形内切圆半径的计算公式：简单易懂，一看就会

三角形内切圆是一种特殊的圆，它位于三角形的三个顶点上，并且与三角形的边都相切。这个圆的半径可以通过以下公式计算：

[ r = frac{a + b + c}{2} ]

其中，( a )、( b ) 和 ( c ) 分别是三角形的边的长度。这个公式的推导如下：

1. 定义：我们定义三角形的内切圆半径为 ( r )。

2. 三角形的外接圆半径：在平面几何中，一个三角形的外接圆半径 ( R ) 可以通过以下公式计算：

[ R = frac{a + b + c}{2} ]

这是因为外接圆的半径等于三角形的对角线长度的一半。

3. 三角形的内切圆半径：由于内切圆与三角形的边都相切，因此它的半径 ( r ) 应该等于三角形的外接圆半径 ( R )。

4. 等式建立：根据上述定义，我们可以得出：

[ r = frac{a + b + c}{2} ]

这就是三角形内切圆半径的计算公式。

5. 验证：为了确保这个公式的正确性，我们可以使用反来证明。假设三角形的内切圆半径不是 ( frac{a + b + c}{2} )，那么设其为 ( x )。那么，根据三角形的面积公式，三角形的面积 ( S ) 可以表示为：

[ S = frac{1}{2}ab + frac{1}{2}ac - frac{1}{2}x(a+b+c) ]

其中，( ab )、( ac ) 和 ( x(a+b+c) ) 分别代表三角形的面积、周长和内切圆的面积。

6. 面积关系：将 ( S ) 代入面积公式，得到：

[ frac{1}{2}ab + frac{1}{2}ac - frac{1}{2}x(a+b+c) = frac{1}{2}ab + frac{1}{2}ac - frac{1}{2}x(a+b+c) ]

化简后得到：

[ 0 = 0 ]

这显然是不可能的，因为面积不可能为0。

7. 矛盾出现：我们的假设不成立，即三角形的内切圆半径必须等于 ( frac{a + b + c}{2} )。

[ r = frac{a + b + c}{2} ]