必记平面向量公式，学霸秘籍大公开

1. 向量加法: 两个向量 \( \vec{a} \) 和 \( \vec{b} \) 的和可以表示为 \( \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} \)。

- 若 \( \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) \) 和 \( \vec{b} = (b_1, b_2, b_3) \)，则 \( \vec{c} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3) \)。

2. 向量减法: 两个向量 \( \vec{a} \) 和 \( \vec{b} \) 的差可以表示为 \( \vec{d} = \vec{a} - \vec{b} \)。

- 若 \( \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) \) 和 \( \vec{b} = (b_1, b_2, b_3) \)，则 \( \vec{d} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3) \)。

3. 向量点积: 两个向量 \( \vec{a} \) 和 \( \vec{b} \) 的点积（标量积）可以表示为 \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \)。

- 若 \( \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) \) 和 \( \vec{b} = (b_1, b_2, b_3) \)，则 \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \)。

4. 向量叉积: 两个向量 \( \vec{a} \) 和 \( \vec{b} \) 的叉积（向量积）可以表示为 \( \vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1) \)。

- 若 \( \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) \) 和 \( \vec{b} = (b_1, b_2, b_3) \)，则 \( \vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1) \)。

5. 向量模长: 向量的长度（或模长）可以通过勾股定理计算得出，即 \( ||\vec{a}|| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \)。

6. 向量的单位化: 将一个非零向量标准化，使其长度为1，可以通过除以其模长来实现，即 \(\frac{\vec{a}}{||\vec{a}||} = (\frac{a_1}{||\vec{a}||}, \frac{a_2}{||\vec{a}||}, \frac{a_3}{||\vec{a}||})\)。

7. 向量的共线性: 如果两个向量平行，那么它们的点积为零，即 \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\)。

8. 向量的垂直性: 如果两个向量垂直，那么它们的叉积为零，即 \(\vec{a} \times \vec{b} = 0\)。

9. 向量的反方向: 假设有一个向量 \(\vec{v}\)，其反方向的向量是 \(\vec{v}^\perp = -\vec{v}\)。

10. 向量的平方: 任何向量的平方等于其模长的平方乘以该向量的长度，即 \(\vec{a}^2 = ||\vec{a}||^2\)。

通过上述公式，你可以构建出各种向量运算的问题，并使用这些公式来解决它们。例如，如果你需要计算两个向量的和、差、积、叉积、模长、单位化等，你可以直接应用这些公式。这些公式也可以用来验证其他更复杂的向量运算的正确性。