开环增益怎么求 自控中的开环增益怎么求
一、零点与极点的基本概念
下图展示了右半平面零点的基本原理。这一原理在使用PSPICE进行电路仿真时非常有用，可以直接应用于电路模型中。
要掌握递函数的定义，需要了解将输出电压与输入电压的比值，即传递函数。Bode图是分析电路稳定性的有力工具，它能有效判定电路的闭环响应，并显示增益与相位的变化。零点和极点的变化直接影响这些参数。
二、补偿方法的选择
针对电流型控制系统和工作在DCM模式下、滤波电容的ESR零点频率较低的电源系统，常用的补偿方法是单极点补偿。该方法通过降低控制带宽，在功率部分或其他补偿部分的相位达到180度之前使其增益降低到0dB，这种方式也被称为主极点补偿。
对于功率部分仅有一个极点的电路，如电流型控制系统或非连续模式的电压型控制电路，采用双极点和单零点补偿是合适的。
三极点和双零点补偿则适用于带有LC谐振的拓扑结构，如电感电流连续模式的拓扑。这种补偿方法中，C1主要用于与R2联动提升相位，并提高低频增益。在保持稳定性的情况下，C1的值应尽可能小。
C2的作用是引入一个高频极点，以降低开关噪声干扰。串联C1实际上是引入一个零点，这个零点能缩短峰值时间，加快系统响应。如果零点越接近虚轴，效果越好。C1的大小需要在超调量和调节时间之间进行折衷，因为零点距离虚轴越近，系统的超调量和调节时间可能会增加。选择合适的C1值至关重要。
并联C2实际上引入了一个极点，这个极点可以增加峰值时间，从而使系统响应变慢。理论上，C2的值应尽可能大，但要考虑到，当零点和极点彼此接近时，系统响应速度可能会相互抵消。对于要求及时响应的系统，C1的值应至少大于C2的值。
三、环路稳定性的标准
在增益为1（即0dB）时，如果整个环路的相移小于360度，则系统被认为是稳定的。如果相移接近360度，会引发两个主要问题：温度、负载和分布参数的变化可能导致相移达到360度，从而引发震荡；当相移接近360度时，电源的阶跃响应（瞬时加减载）可能表现为强烈的震荡，使得系统的输出稳定时间增加，超调量也会增大。下图展示了这一关系。
设计时需要留出一定的相位裕量。最佳相位裕量为52度左右，工程上通常取45度以上。请注意，补偿放大器在负反馈状态下本身具有180度的相移，因此留给功率部分和补偿网络的相位裕量只有180度。幅值裕度在使用任何一种补偿方式时都会自动满足，因此在设计时通常不需要特别考虑。增益曲线为-20dB/decade时，该曲线的最大相移为90度，留有90度的裕量。最终的增益曲线应该在-20dB/decade部分穿过0dB。在低于0dB带宽的部分，曲线应为-40dB/decade，这样增益会迅速上升，使电源输出的直流误差非常小，从而提高电源的负载和线路调整率。
四、设计控制环路的步骤
在设计主电路时，通常不会提前考虑控制环路的设计。我们需要假设主功率部分已经设计完成，然后再讨论环路设计。环路设计通常包括以下几个步骤：
1) 绘制已知部分的频响曲线。
2) 根据实际要求和各限制条件确定带宽频率，即增益曲线的0dB频率。
3) 根据第2步确定的带宽频率，决定补偿放大器的类型和频率点，以使带宽处的曲线斜率为20dB/decade，并绘制整个电路的频响曲线。
上述过程也可以使用相关软件进行设计，如PSPICE、POWER-4-5-6等。需要注意的是，已知部分的频响曲线指的是除Kea（补偿放大器）外的所有部分的乘积，在Bode图上是相加的。
虽然环路带宽理想情况下应尽可能高，但受到以下几方面的限制：a) 香农采样定理限制了带宽不能超过1/2的采样频率；b) 右半平面零点（RHSZ）的影响，RHSZ随输入电压、负载和电感量变化，几乎无法补偿，因此需要将带宽设计远离RHSZ，通常取其1/4至1/5；c) 补偿放大器的带宽不是无限大的，当将环路带宽设定得非常高时，可能会受到补偿放大器增益限制的影响，以及电容零点受温度影响等因素。实际带宽通常取开关频率的1/6至1/10。
五、反激设计实例
以下是一个反激变换器的设计实例：输入为85-265V交流电，整流后输出直流电压为100-375V，输出电压为12V/5A。
初级电感量为370uH，初级匝数为40T，次级匝数为5T。
次级滤波电容为1000uF×3=3000uF，震荡三角波幅度为2.5V，开关频率为100KHz。
对于电流型控制，取样电阻为0.33欧姆。
下面将电压型和峰值电流型控制分别进行设计。所有设计取样点设置在输出的小LC前面。如果取样点设置在小LC后面，由于受LC谐振频率限制，带宽不能很高。
1) 电流型控制
假设使用3842，传递函数如下：
下图展示了补偿放大部分的原理图。右半平面零点（RHSZ）的频率为33K，为了避免其引起过多的相移，通常取带宽为其频率的1/4至1/5，我们选择1/4为8K。
分为两种情况进行分析：
A) 输出电容ESR较大
当输出滤波电容的内阻较大，自身阻容形成的零点较低，在8K处的相位滞后较小。计算得到Phanseangle为-22度。
在8K处，增益曲线水平，因此可以直接使用单极点补偿，从而满足-20dB/decade的曲线形状，省去补偿部分的R2和C1。
设Rb为5.1K，则R1=[(12-2.5)/2.5]*Rb=19.4K。
8K处功率部分的增益为-5.7dB，因为带宽为8K，即8K处0dB。
8K处补偿放大器增益应为5.7dB，5.7-20*log(Fo/8)=0。Fo为补偿放大器0dB增益频率，计算得到Fo=15.42。
C2=0.53nF，计算得到相位裕度为68度。
B) 输出电容ESR较小
当输出滤波电容的内阻较小，自身阻容形成的零点较高，在8K处的相位滞后较大，计算得到Ph
anseangle为-47度。
如果仍采用单极点补偿，带宽处的相位裕量将为180度 - 90度 - 47度 = 43度，这一值较小。建议使用二型补偿来提升相位裕量。
对于三型补偿，选择三个点：第一个极点在原点，第一零点一般取在带宽的1/5左右，这样可以在带宽处提升相位约78度，此零点越低，提升效果越明显，但如果过低，会降低低频增益，从而影响输出调整率。此处我们选择1.6K。第二个极点用于抵消ESR零点或RHZ零点引起的增益升高，确保增益裕度。我们选择5.3K作为ESR零点频率的抵消点。
数值计算如下：
在8K处，功率部分的增益为-20*log(5300/33) + 20*log19.4 = -18dB。由于带宽为8K，即最终的增益曲线在8K处为0dB。
8K处补偿放大器的增益应为18dB。计算得到5.3K处的增益为18 + 20*log(8/5.3) = 21.6dB。为了获得所需的增益曲线，R2的值应为12 * R1 = 233K。由此，计算得到C2为127pF，C1为0.427nF。
由于输出存在LC谐振，谐振点的相位变化非常剧烈，因此需要使用三型补偿放大器来提升相位。三型补偿的零点和极点设置原则如下：在原点设置一个极点以提升低频增益；在双极点处放置两个零点，这样在谐振点的相位将达到-90 + (-90) + 45 + 45 = -90度。在输出电容的ESR处放置一个极点，以抵消ESR的影响；在RHZ处放置一个极点，来抵消RHZ引起的高频增益上升。
元件数值计算为方便起见，我们将三型补偿的图重新绘制如下：
蓝色部分表示功率部分，绿色部分表示补偿部分，红色部分表示整个开环增益。
如果相位裕量不足，可以适当调整两个零点的位置，或者将第一个极点的位置稍微调整。如果使用CTR大的光耦或添加其他放大器，如同时使用IC的内部运放，则只需在Bode图上增加一个直流增益后，再设计补偿部分。此时要求将IC内部运放配置为比例放大器。如果内部运放需要补偿，则会稍微复杂一些，需要在图上再添加补偿线。
